Exercício 41. Calcule a derivada das seguintes funções (use diferenciação logarítmica):
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
O conteúdo principal é diferenciação logarítmica: vamos aplicar o logaritmo na função para depois derivar usando regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados. Seja
. Então
e, pelas propriedades de logaritmo,
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo,
. No direito, use-se regra do produto e cadeia:
Calculando as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
Isolamos
. Como
, temos
Substituindo
, obtemos a forma final do derivado.