Exercício 41. Calcule a derivada das seguintes funções (use diferenciação logarítmica):
f(x)=\left(e^{2 x}+7\right)^{\cos \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(e^{2x} + 7\bigr)^{\cos\bigl(x^2\bigr)}
O conteúdo principal é diferenciação logarítmica: vamos aplicar o logaritmo na função para depois derivar usando regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados. Seja y = f(x). Então
\ln y = \ln\Bigl(\bigl(e^{2x}+7\bigr)^{\cos(x^2)}\Bigr)
e, pelas propriedades de logaritmo,
\ln y = \cos\bigl(x^2\bigr)\,\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr).

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y}. No direito, use-se regra do produto e cadeia:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr]\;\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr) + \cos(x^2)\;\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr)\Bigr].
Calculando as derivadas parciais:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^2)\bigr] = -\sin(x^2)\cdot 2x, \quad \frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr)\Bigr] = \frac{1}{e^{2x}+7}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}+7\bigr) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x}+7}.
Logo,
\frac{y'}{y} = -2x\,\sin(x^2)\,\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr) + \cos(x^2)\,\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+7}.

Passo 4

Isolamos y'. Como y = f(x), temos
y' = y \;\Bigl[ -2x\,\sin(x^2)\,\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr) + \cos(x^2)\,\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+7} \Bigr].
Substituindo y = \bigl(e^{2x}+7\bigr)^{\cos(x^2)}, obtemos a forma final do derivado.

Resposta

f'(x) = \bigl(e^{2x}+7\bigr)^{\cos(x^2)} \Bigl[ -2x\,\sin(x^2)\,\ln\bigl(e^{2x}+7\bigr) + \cos(x^2)\,\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+7} \Bigr].

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