Exercício 40. Suponha que f e g sejam funções tais que f^{\prime}(x)=1 / x e f(g(x))=x. Mostre que se g^{\prime}(x) existe, então g^{\prime}(x)=g(x).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g tais que
f'(x)=\frac{1}{x}
e
f\bigl(g(x)\bigr)=x.
Queremos mostrar que, sempre que g'(x) existir, vale
g'(x)=g(x).
O que vamos usar aqui é a regra da cadeia para derivadas e a expressão de f' dada.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia à igualdade
f\bigl(g(x)\bigr)=x,
derivamos ambos os lados em relação a x. Isso dá
f'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot\,g'(x)=1.

Passo 3

Pela hipótese, f'(u)=1/u para todo u. Em particular, com u=g(x) temos
f'\bigl(g(x)\bigr)=\frac{1}{g(x)}.
Substituindo na relação da cadeia resulta
\frac{1}{g(x)}\,g'(x)=1.

Passo 4

Basta agora multiplicar ambos os lados por g(x) para isolar g'(x):
g'(x)=g(x).

Resposta

g'(x)=g(x).

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