Exercício 40. Suponha que
e
sejam funções tais que
e
. Mostre que se
existe, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e
tais que
e
Queremos mostrar que, sempre que
existir, vale
O que vamos usar aqui é a regra da cadeia para derivadas e a expressão de
dada.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia à igualdade
derivamos ambos os lados em relação a
. Isso dá
Passo 3
Pela hipótese,
para todo
. Em particular, com
temos
Substituindo na relação da cadeia resulta
Passo 4
Basta agora multiplicar ambos os lados por
para isolar
: