Exercício 42. Ache os valores de x que maximizam e minimizam
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
no intervalo [-3,3].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que maximizam e minimizam a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
no intervalo [-3,3].
Informações dadas e perguntas claras:
  • Função: f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Intervalo analisado: [-3,3].
  • Pergunta 1: quais os valores de x em [-3,3] que maximizam f?
  • Pergunta 2: quais os valores de x em [-3,3] que minimizam f?
  • Observação: a função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+1>0 para todo x.

Passo 2

Plano de ataque (explicação do que vamos fazer e por quê — didático e passo a passo):
  • Para achar máximos e mínimos de uma função em um intervalo fechado, devemos avaliar a função nos “candidatos” a extremos:
    1. pontos críticos interiores do intervalo, isto é, pontos onde a derivada f'(x) é zero ou não existe;
    2. os extremos do intervalo (aqui x=-3 e x=3).
  • Depois comparamos os valores de f nesses pontos: o maior valor será o máximo absoluto no intervalo e o menor será o mínimo absoluto.
  • Vou calcular f'(x) passo a passo, achar os pontos críticos, calcular f nesses pontos e comparar os valores.

Passo 3

Cálculo da derivada f'(x) (explicando a regra usada):
  • Podemos usar a regra do quociente. Se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x.
  • Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Simplificando o numerador:
f'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe):
  • f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}. O denominador (x^{2}+1)^{2} nunca é zero (é sempre positivo), então a derivada existe para todo x.
  • Zerar f'(x) equivale a zerar o numerador 1-x^{2}=0. Resolve-se:
1-x^{2}=0 \Longrightarrow x^{2}=1 \Longrightarrow x=\pm 1.
  • Portanto os pontos críticos são x=1 e x=-1. Ambos estão dentro do intervalo [-3,3], então são candidatos a extremos.

Passo 5

Avaliar f nos pontos candidatos: pontos críticos e extremos do intervalo.
  • Avaliando nos pontos críticos:
    • Para x=1:
    f(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}.
    • Para x=-1:
    f(-1)=\frac{-1}{(-1)^{2}+1}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  • Avaliando nas extremidades do intervalo (dados pelo enunciado):
    • Para x=3:
    f(3)=\frac{3}{3^{2}+1}=\frac{3}{10}=0{,}3.
    • Para x=-3:
    f(-3)=\frac{-3}{(-3)^{2}+1}=\frac{-3}{10}=-0{,}3.

Passo 6

Comparação dos valores obtidos (para decidir máximos e mínimos absolutos no intervalo):
  • Valores calculados:
    • f(1)=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
    • f(-1)=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5.
    • f(3)=\dfrac{3}{10}=0{,}3.
    • f(-3)=-\dfrac{3}{10}=-0{,}3.
  • O maior valor entre esses é 0{,}5 em x=1, logo o máximo absoluto ocorre em x=1.
  • O menor valor entre esses é -0{,}5 em x=-1, logo o mínimo absoluto ocorre em x=-1.

Passo 7

(Verificação extra, didática) Teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos:
  • Podemos calcular f''(x) para checar concavidade nos pontos críticos. Usa-se a expressão já obtida para f'(x)= (1-x^{2})(x^{2}+1)^{-2} e diferenciala:
f''(x)=\frac{-2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • Avaliando em x=1:
f''(1)=\frac{-2\cdot 1\cdot(3-1)}{(1+1)^{3}}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}<0,
o que indica concavidade para baixo e confirma que x=1 é um máximo local (e aqui absoluto).
  • Avaliando em x=-1:
f''(-1)=\frac{-2\cdot(-1)\cdot(3-1)}{(1+1)^{3}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}>0,
o que indica concavidade para cima e confirma que x=-1 é um mínimo local (e absoluto neste intervalo).
  • Esta verificação confirma a classificação feita pela comparação de valores.

Resposta

Máximo: x=1,\; f(1)=\dfrac{1}{2}
Mínimo: x=-1,\; f(-1)=-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados