Exercício 42. Ache os valores de
que maximizam e minimizam
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
que maximizam e minimizam a função
no intervalo
.
Informações dadas e perguntas claras:
- Função:
. - Intervalo analisado:
. - Pergunta 1: quais os valores de
em que maximizam ? - Pergunta 2: quais os valores de
em que minimizam ? - Observação: a função está definida para todo
porque para todo .
Passo 2
Plano de ataque (explicação do que vamos fazer e por quê — didático e passo a passo):
- Para achar máximos e mínimos de uma função em um intervalo fechado, devemos avaliar a função nos “candidatos” a extremos:
- pontos críticos interiores do intervalo, isto é, pontos onde a derivada
é zero ou não existe; - os extremos do intervalo (aqui
e ).
- pontos críticos interiores do intervalo, isto é, pontos onde a derivada
- Depois comparamos os valores de
nesses pontos: o maior valor será o máximo absoluto no intervalo e o menor será o mínimo absoluto. - Vou calcular
passo a passo, achar os pontos críticos, calcular nesses pontos e comparar os valores.
Passo 3
Cálculo da derivada
(explicando a regra usada):
- Podemos usar a regra do quociente. Se
, então
Aqui
e
. Então
e
.
- Aplicando a regra do quociente:
- Simplificando o numerador:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos (onde
ou
não existe):
-
. O denominador nunca é zero (é sempre positivo), então a derivada existe para todo . - Zerar
equivale a zerar o numerador . Resolve-se:
- Portanto os pontos críticos são
e . Ambos estão dentro do intervalo , então são candidatos a extremos.
Passo 5
Avaliar
nos pontos candidatos: pontos críticos e extremos do intervalo.
- Avaliando nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
- Para
- Avaliando nas extremidades do intervalo (dados pelo enunciado):
- Para
:
- Para
:
- Para
Passo 6
Comparação dos valores obtidos (para decidir máximos e mínimos absolutos no intervalo):
- Valores calculados:
-
. -
. -
. -
.
-
- O maior valor entre esses é
em , logo o máximo absoluto ocorre em . - O menor valor entre esses é
em , logo o mínimo absoluto ocorre em .
Passo 7
(Verificação extra, didática) Teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos:
- Podemos calcular
para checar concavidade nos pontos críticos. Usa-se a expressão já obtida para e diferenciala:
- Avaliando em
:
o que indica concavidade para baixo e confirma que
é um máximo local (e aqui absoluto).
- Avaliando em
:
o que indica concavidade para cima e confirma que
é um mínimo local (e absoluto neste intervalo).
- Esta verificação confirma a classificação feita pela comparação de valores.
Resposta
Máximo:
Mínimo:
Mínimo: