Exercício 42. Sendo sen x+\cos x=\sqrt{2}, qual o valor de
\operatorname{sen}(2 x) ?

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \operatorname{sen}x+\cos x=\sqrt{2} e pede o valor de \operatorname{sen}(2x).
Informações relevantes:
  • Foi dada a soma \operatorname{sen}x+\cos x=\sqrt{2}.
  • O objetivo é calcular \operatorname{sen}(2x).

Passo 2

Lembrar da fórmula que relaciona \operatorname{sen}(2x) com \operatorname{sen}x e \cos x. A identidade de ângulo duplo para seno é
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x.
Isto diz que, para obter \operatorname{sen}(2x), basta encontrar o produto \operatorname{sen}x\cos x.

Passo 3

Para extrair \operatorname{sen}x\cos x da informação dada, vamos elevar ao quadrado a igualdade \operatorname{sen}x+\cos x=\sqrt{2}. Ao quadrar os dois lados temos
(\operatorname{sen}x+\cos x)^2=(\sqrt{2})^2.
No lado direito (\sqrt{2})^2=2.

Passo 4

Expandir o quadrado no lado esquerdo usando a identidade de um quadrado:
(\operatorname{sen}x+\cos x)^2=\operatorname{sen}^2 x + 2\operatorname{sen}x\cos x + \cos^2 x.
Portanto a igualdade do passo anterior vira
\operatorname{sen}^2 x + 2\operatorname{sen}x\cos x + \cos^2 x = 2.

Passo 5

Usar a identidade pitagórica básica da trigonometria:
\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1,
que vale para todo x porque na circunferência trigonométrica o quadrado das projeções soma 1. Substituindo isso em
\operatorname{sen}^2 x + 2\operatorname{sen}x\cos x + \cos^2 x = 2
obtemos
1 + 2\operatorname{sen}x\cos x = 2.

Passo 6

Isolar o produto \operatorname{sen}x\cos x:
2\operatorname{sen}x\cos x = 2 - 1 = 1,
portanto
\operatorname{sen}x\cos x = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Aplicar a fórmula do passo 2 para obter \operatorname{sen}(2x):
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x = 2\cdot \tfrac{1}{2}=1.
Como checagem rápida: a condição \operatorname{sen}x+\cos x=\sqrt{2} equivale a \operatorname{sen}(x+\tfrac{\pi}{4})=1, que dá x=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi, e para esses x realmente \operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}+4k\pi)=1. Então está consistente.

Resposta

\operatorname{sen}(2x)=1

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