Exercício 44. Sendo
e
números reais tais que
Qual o valor mínimo de
?
b) 1 .
c)
.
d)
.
a) 2 .
b) 1 .
c)
d)
a) 2 .
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede o valor mínimo de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é a de um círculo com centro
e raio (isto vem de comparar com a forma ). - A quantidade que queremos minimizar,
, é o quadrado da distância do ponto até a origem ; isto é, se .
O problema, portanto, é: entre todos os pontosdo círculo dado, qual é o menor valor possível de ?
Passo 2
Entendendo geometricamente o problema (ideia principal).
- Seja
o centro do círculo. A distância do centro até a origem é
- O círculo tem raio
. Como , a origem está fora do círculo. - Para um ponto
do círculo, a distância será mínima quando for o ponto do círculo mais próximo da origem: geometricamente esse ponto fica na reta que liga a , no lado do centro voltado para . - A menor distância do ponto do círculo até a origem é, portanto,
Como queremos
, o mínimo procurado é
.
Passo 3
Expandindo a expressão encontrada para obter uma forma fechada.
Calcule
Calcule
Portanto
Passo 4
Verificação algébrica alternativa (para fixar o método).
- Seja
um ponto do círculo. Escrevendo , onde é um vetor unitário (direção qualquer), temos
- Aqui
, e para algum . - Assim
- O termo
varia entre e . Para minimizar escolhemos , e obtemos
confirmando o resultado geométrico.