Exercício 44. Sendo x e y números reais tais que
(x+5)^{2}+(y-12)^{2}=14
Qual o valor mínimo de x^{2}+y^{2} ?
b) 1 .
c) \sqrt{3}.
d) \sqrt{2}.
a) 2 .

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x+5)^{2}+(y-12)^{2}=14
e pede o valor mínimo de
x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é a de um círculo com centro \,C=(-5,\,12)\, e raio \,r=\sqrt{14}\, (isto vem de comparar com a forma (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2).
  • A quantidade que queremos minimizar, \,x^{2}+y^{2}\,, é o quadrado da distância do ponto (x,y) até a origem O=(0,0); isto é, \,x^{2}+y^{2}=\|OP\|^{2} se P=(x,y).
    O problema, portanto, é: entre todos os pontos P do círculo dado, qual é o menor valor possível de \|OP\|^{2}?

Passo 2

Entendendo geometricamente o problema (ideia principal).
  • Seja \,C=(-5,12)\, o centro do círculo. A distância do centro C até a origem é
\|OC\|=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
  • O círculo tem raio \,r=\sqrt{14}. Como \|OC\|=13>r, a origem está fora do círculo.
  • Para um ponto P do círculo, a distância \|OP\| será mínima quando P for o ponto do círculo mais próximo da origem: geometricamente esse ponto fica na reta que liga O a C, no lado do centro voltado para O.
  • A menor distância do ponto do círculo até a origem é, portanto,
\min \|OP\|=\|OC\|-r=13-\sqrt{14}.
Como queremos \,x^{2}+y^{2}=\|OP\|^{2}, o mínimo procurado é (13-\sqrt{14})^{2}.

Passo 3

Expandindo a expressão encontrada para obter uma forma fechada.
Calcule
(13-\sqrt{14})^{2}=13^{2}+(\sqrt{14})^{2}-2\cdot13\cdot\sqrt{14}.
Portanto
(13-\sqrt{14})^{2}=169+14-26\sqrt{14}=183-26\sqrt{14}.

Passo 4

Verificação algébrica alternativa (para fixar o método).
  • Seja P um ponto do círculo. Escrevendo P=C+r\mathbf{u}, onde \mathbf{u} é um vetor unitário (direção qualquer), temos
x^{2}+y^{2}=\|P\|^{2}=\|C+r\mathbf{u}\|^{2}=\|C\|^{2}+r^{2}+2r\,C\cdot\mathbf{u}.
  • Aqui \|C\|=\|OC\|=13, r=\sqrt{14} e C\cdot\mathbf{u}=\|C\|\cos\theta=13\cos\theta para algum \theta.
  • Assim
\|P\|^{2}=13^{2}+(\sqrt{14})^{2}+2\cdot\sqrt{14}\cdot13\cos\theta=183+26\sqrt{14}\cos\theta.
  • O termo \cos\theta varia entre -1 e 1. Para minimizar \|P\|^{2} escolhemos \cos\theta=-1, e obtemos
\min \|P\|^{2}=183-26\sqrt{14}=(13-\sqrt{14})^{2},
confirmando o resultado geométrico.

Resposta

183-26\sqrt{14}

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