Exercício 43. Encontre, em cada um dos itens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
a) \cos ^{2}(x+y)=1 / 4
b) y^{3}=\frac{x-y}{x+y}
c) \left(y^{2}-9\right)^{4}=\left(4 x^{2}+3 x-1\right)^{2}
d) x^{3}+x^{2} y-2 x y^{2}+y^{3}-1=0
e) \operatorname{sen}(x y)+y-x^{2}=0
f) x y+16=0
g) x \operatorname{arctg}(\mathrm{x})+\mathrm{y}^{2}=4
h) \sqrt{2 x+y}+\sqrt{x+2 y}=6
i) \operatorname{senh}\left(\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}\right)+\operatorname{cosh} \left(\mathrm{y}^{2}-\cos (\mathrm{xy})\right)=2
(j) Nos itens (a) e (f) encontre \frac{d x}{d y}. (Neste caso, estamos pensando que x é uma função de y, ou seja, x=g(y).)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \tfrac{dy}{dx} quando y=y(x) está definida implicitamente por várias equações. O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando regra da cadeia, produto, quociente e as derivadas usuais ( \operatorname{sen}, \cos, \operatorname{sinh}, \operatorname{cosh}, \arctan, raízes, etc.). Em cada item diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que \tfrac{d}{dx}[y]=y'.

Passo 2

a) Diferenciando
\cos^2(x+y)=\tfrac14
temos, pela cadeia,
2\cos(x+y)\cdot\bigl(-\sin(x+y)\bigr)\cdot(1+y')=0.
Ou seja,
-\sin\bigl(2(x+y)\bigr)\,(1+y')=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-1.

Passo 3

b) De
y^3=\frac{x-y}{\,x+y\,}
diferenciamos:
3y^2\,y' =\frac{(1-y')(x+y)-(x-y)(1+y')}{(x+y)^2}.
Multiplicando por (x+y)^2 e reorganizando,
y'\bigl[3y^2(x+y)^2+2x\bigr]=2y \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{2y}{3y^2(x+y)^2+2x}.

Passo 4

c) De
(y^2-9)^4=(4x^2+3x-1)^2
a diferenciação dá
4(y^2-9)^3\cdot2y\,y' = 2(4x^2+3x-1)(8x+3).
Logo
y' =\frac{2(4x^2+3x-1)(8x+3)}{8y\,(y^2-9)^3} =\frac{(4x^2+3x-1)(8x+3)}{4y\,(y^2-9)^3}.

Passo 5

d) De
x^3+x^2y-2xy^2+y^3-1=0
temos
3x^2+(2xy+x^2y')-\bigl(2y^2+4xy\,y'\bigr)+3y^2y'=0.
Agrupando y':
3x^2+2xy-2y^2 +y'\bigl(x^2-4xy+3y^2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{3x^2+2xy-2y^2}{x^2-4xy+3y^2}.

Passo 6

e) De
\operatorname{sen}(xy)+y-x^2=0
diferenciamos:
\cos(xy)\,(x\,y'+y)+y'-2x=0
y'\bigl[x\cos(xy)+1\bigr]=2x-y\cos(xy) \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{2x-y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}.

Passo 7

f) De
xy+16=0
temos
x\,y'+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{y}{x}.

Passo 8

g) De
x\arctan(x)+y^2=4
diferenciamos:
\arctan(x)+\frac{x}{1+x^2}+2y\,y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{\arctan(x)+\tfrac{x}{1+x^2}}{2y}.

Passo 9

h) De
\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+2y}=6
temos, com \sqrt{u}'=u'/(2\sqrt{u}),
\frac{2+y'}{2\sqrt{2x+y}} +\frac{1+2y'}{2\sqrt{x+2y}}=0.
Multiplicando por 2 e isolando y':
y'\Bigl(\tfrac1{\sqrt{2x+y}}+\tfrac{2}{\sqrt{x+2y}}\Bigr) =-\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{2x+y}}+\tfrac{1}{\sqrt{x+2y}}\Bigr)
\Longrightarrow\quad y'=-\frac{2/\sqrt{2x+y}+1/\sqrt{x+2y}} {1/\sqrt{2x+y}+2/\sqrt{x+2y}}.

Passo 10

i) De
\operatorname{sinh}(x^2y)+\operatorname{cosh}\bigl(y^2-\cos(xy)\bigr)=2
diferenciamos em x:
\operatorname{cosh}(x^2y)\,(2xy+x^2y') +\operatorname{sinh}\bigl(y^2-\cos(xy)\bigr) \bigl[2yy'+\sin(xy)\,(x\,y'+y)\bigr]=0.
Reagrupando em y':
y'\bigl[x^2\operatorname{cosh}(x^2y)+(2y+x\sin(xy))\operatorname{sinh}(\dots)\bigr] =-\bigl[2xy\operatorname{cosh}(x^2y)+y\sin(xy)\operatorname{sinh}(\dots)\bigr]
\Longrightarrow\quad y'=-\frac{2xy\operatorname{cosh}(x^2y)+y\sin(xy)\operatorname{sinh}(y^2-\cos(xy))} {x^2\operatorname{cosh}(x^2y)+(2y+x\sin(xy))\operatorname{sinh}(y^2-\cos(xy))}.

Passo 11

j) Em (a) e (f) queremos \tfrac{dx}{dy}=(dy/dx)^{-1}.
  • (a): dy/dx=-1 \Longrightarrow \tfrac{dx}{dy}=-1.
  • (f): dy/dx=-\tfrac{y}{x} \Longrightarrow \tfrac{dx}{dy}=-\tfrac{x}{y}.

Resposta

a) \displaystyle y'=-1.
b) \displaystyle y'=\frac{2y}{3y^2(x+y)^2+2x}.
c) \displaystyle y'=\frac{(4x^2+3x-1)(8x+3)}{4y\,(y^2-9)^3}.
d) \displaystyle y'=-\frac{3x^2+2xy-2y^2}{\,x^2-4xy+3y^2\,}.
e) \displaystyle y'=\frac{2x-y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}.
f) \displaystyle y'=-\frac{y}{x}.
g) \displaystyle y'=-\frac{\arctan(x)+\tfrac{x}{1+x^2}}{2y}.
h) \displaystyle y'=-\frac{\tfrac{2}{\sqrt{2x+y}}+\tfrac{1}{\sqrt{x+2y}}}{\tfrac{1}{\sqrt{2x+y}}+\tfrac{2}{\sqrt{x+2y}}}.
i) \displaystyle y'=-\frac{2xy\operatorname{cosh}(x^2y)+y\sin(xy)\operatorname{sinh}(y^2-\cos(xy))} {x^2\operatorname{cosh}(x^2y)+(2y+x\sin(xy))\operatorname{sinh}(y^2-\cos(xy))}.
j) \displaystyle\frac{dx}{dy}\Big|_{\rm(a)}=-1,\quad \frac{dx}{dy}\Big|_{\rm(f)}=-\frac{x}{y}.

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