Exercício 43. Encontre, em cada um dos itens abaixo,
, onde
é dada implicitamente pelas equações abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(j) Nos itens (a) e (f) encontre
. (Neste caso, estamos pensando que
é uma função de
, ou seja,
.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(j) Nos itens (a) e (f) encontre
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
está definida implicitamente por várias equações. O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando regra da cadeia, produto, quociente e as derivadas usuais (
,
,
,
,
, raízes, etc.). Em cada item diferenciamos ambos os lados em relação a
, lembrando que
.
Passo 2
a) Diferenciando
temos, pela cadeia,
Ou seja,
Passo 3
b) De
diferenciamos:
Multiplicando por
e reorganizando,
Passo 4
c) De
a diferenciação dá
Logo
Passo 5
d) De
temos
Agrupando
:
Passo 6
e) De
diferenciamos:
Passo 7
f) De
temos
Passo 8
g) De
diferenciamos:
Passo 9
h) De
temos, com
,
Multiplicando por 2 e isolando
:
Passo 10
i) De
diferenciamos em
:
Reagrupando em
:
Passo 11
j) Em (a) e (f) queremos
.
- (a):
. - (f):
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)