Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eizo vertical z que passa pelo centro da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina circular homogênea de massa M e raio R em relação ao eixo z que atravessa o centro e é perpendicular à lâmina (que está no plano xy). Vamos usar a definição de momento de inércia para uma distribuição contínua:
dI = r^{2}\,dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo z.

Passo 2

Como a lâmina é homogênea, a densidade superficial \sigma é constante e vale
\sigma = \frac{M}{\text{área do círculo}} = \frac{M}{\pi R^{2}}.áí
Num elemento de área dA em coordenadas polares (\rho,\theta) temos
dm = \sigma\,dA = \sigma\,(\rho\,d\rho\,d\theta).

Passo 3

Em coordenadas polares, a distância de cada ponto ao eixo z é \rho. Logo
dI = \rho^{2}\,dm = \rho^{2}\,\sigma\,(\rho\,d\rho\,d\theta) = \sigma\,\rho^{3}\,d\rho\,d\theta.
Para obter I, integramos \rho de 0 a R e \theta de 0 a 2\pi:
I = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} \sigma\,\rho^{3}\,d\rho\,d\theta.

Passo 4

Fazendo as integrais:
I = \sigma \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{R}\rho^{3}\,d\rho\Bigr) = \sigma\,(2\pi)\,\frac{R^{4}}{4} = \frac{M}{\pi R^{2}}\;2\pi\;\frac{R^{4}}{4} = \frac{1}{2}\,M\,R^{2}.

Resposta

I_{z} = \frac{1}{2}\,M\,R^{2}.

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