Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eizo vertical z que passa pelo centro da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Ao eizo vertical z que passa pelo centro da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina circular homogênea de massa
e raio
em relação ao eixo
que atravessa o centro e é perpendicular à lâmina (que está no plano
). Vamos usar a definição de momento de inércia para uma distribuição contínua:
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo
.
Passo 2
Como a lâmina é homogênea, a densidade superficial
é constante e vale
Num elemento de área
em coordenadas polares
temos
Passo 3
Em coordenadas polares, a distância de cada ponto ao eixo
é
. Logo
Para obter
, integramos
de
a
e
de
a
:
Passo 4
Fazendo as integrais: