Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eixo horizontal (x) que passa pela reta diametral da lámina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina circular homogênea de raio R e massa M, situada no plano xy com centro na origem, em relação ao eixo x que é um diâmetro da lâmina. O conteúdo usado será o cálculo de momento de inércia via integração com densidade de massa superficial e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro definimos a densidade superficial de massa como
\sigma = \frac{M}{\pi R^2},
pois a área do disco é \pi R^2. Para um elemento de área dA localizado em (x,y), sua massa é dm = \sigma\,dA e sua distância ao eixo x vale |y|. Logo o momento de inércia é
I_x = \int r^2\,dm = \int y^2\,dm = \int y^2\,\sigma\,dA.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares no plano:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Assim
I_x = \sigma \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} (r\sin\theta)^2 \,r\,dr\,d\theta = \sigma \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\;\int_{0}^{R}r^3\,dr.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4}.
Assim
I_x = \sigma\;\pi\;\frac{R^4}{4} = \frac{M}{\pi R^2}\,\pi\,\frac{R^4}{4} = \frac{M R^2}{4}.

Resposta

I_x = \frac{1}{4}\,M\,R^2.

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