Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eixo horizontal (x) que passa pela reta diametral da lámina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Ao eixo horizontal (x) que passa pela reta diametral da lámina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma lâmina circular homogênea de raio
e massa
, situada no plano
com centro na origem, em relação ao eixo
que é um diâmetro da lâmina. O conteúdo usado será o cálculo de momento de inércia via integração com densidade de massa superficial e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro definimos a densidade superficial de massa como
pois a área do disco é
. Para um elemento de área
localizado em
, sua massa é
e sua distância ao eixo
vale
. Logo o momento de inércia é
Passo 3
Passamos para coordenadas polares no plano:
Assim
Passo 4
Calculamos separadamente:
Assim