Exercício 45. Calcule os extremos absolutos da função
f(x)=x^{4}-4 x^{2}
no intervalo [-3,3].

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os extremos absolutos da função \,f(x)=x^{4}-4x^{2}\, no intervalo \,[-3,3].\n
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=x^{4}-4x^{2}.\n
  • O intervalo fechado é \,[-3,3].\n
    Pergunta clara: encontrar os pontos em \,[-3,3] onde \,f atinge o valor mínimo absoluto e o valor máximo absoluto, e quais são esses valores.

Passo 2

Estratégia (explicada como se eu fosse seu colega estudando junto): para uma função contínua num intervalo fechado, os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Aqui a função é polinomial, então é contínua e derivável em todo lugar; portanto vou:
  1. calcular a derivada \,f'(x);\n
  2. achar os pontos críticos resolvendo \,f'(x)=0;\n
  3. avaliar \,f nesses pontos críticos e também em \,x=-3 e \,x=3;\n
  4. comparar os valores obtidos para decidir mínimos e máximos absolutos.\n
    Antes de aplicar: um lembrete rápido sobre derivada de potências — a regra do poder: a derivada de \,x^{n} é \,n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de \,x^{4} é \,4x^{3} e a de \,x^{2} é \,2x.

Passo 3

Calcular a derivada \,f'(x) usando a regra do poder e a linearidade da derivada:
f(x)=x^{4}-4x^{2}
Aplicando derivada termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-4\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=4x^{3}-4\cdot 2x=4x^{3}-8x.
Fatorando para facilitar a resolução:
f'(x)=4x^{3}-8x=4x\bigl(x^{2}-2\bigr).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo \,f'(x)=0:
4x\bigl(x^{2}-2\bigr)=0.
Como o fator \,4\neq 0, os fatores que dão zero são:
x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}-2=0.
Resolvendo \,x^{2}-2=0 \,x^{2}=2, logo
x=\pm\sqrt{2}.
Todos esses pontos pertencem ao intervalo \,[-3,3]. Não há pontos onde a derivada não existe porque f é polinomial.

Passo 5

Vou agora avaliar \,f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo. Primeiro recordando a função:
f(x)=x^{4}-4x^{2}.
Calcular \,f(0):
f(0)=0^{4}-4\cdot 0^{2}=0-0=0.
Calcular \,f(\pm\sqrt{2}). Observando que potências pares tornam \,f(\sqrt{2})=f(-\sqrt{2}), então faço só uma:
(\sqrt{2})^{2}=2,\qquad (\sqrt{2})^{4}=\bigl((\sqrt{2})^{2}\bigr)^{2}=2^{2}=4.
Logo
f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{4}-4(\sqrt{2})^{2}=4-4\cdot 2=4-8=-4.
Portanto
f(\sqrt{2})=f(-\sqrt{2})=-4.
Calcular \,f(3) e \,f(-3) (novamente iguais por simetria dos expoentes pares):
3^{4}=81,\qquad 4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36,
então
f(3)=81-36=45,
e
f(-3)=45.

Passo 6

Agora comparo os valores obtidos para decidir extremos absolutos no intervalo:
  • \,f(\pm\sqrt{2})=-4.\n
  • \,f(0)=0.\n
  • \,f(\pm 3)=45.\n
    O menor valor entre -4,0,45 é -4, e o maior é 45. Portanto os mínimos absolutos valem -4 e ocorrem em \,x=\pm\sqrt{2}; os máximos absolutos valem 45 e ocorrem em \,x=\pm 3.
(Opcional — classificação local rápida usando a segunda derivada: \,f''(x)=12x^{2}-8. Em x=0, \,f''(0)=-8<0 indica máximo local em 0 — é só local, não absoluto. Em x=\pm\sqrt{2}, \,f''(\pm\sqrt{2})=12\cdot 2-8=16>0 indica mínimos locais, que aqui são também mínimos absolutos dado o confronto com os valores nos extremos do intervalo.)

Resposta

Mínimos absolutos: \,f(\pm\sqrt{2})=-4.\n
Máximos absolutos: \,f(\pm 3)=45.

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