Exercício 45. Calcule os extremos absolutos da função
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule os extremos absolutos da função
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.\n - O intervalo fechado é
.\n
Pergunta clara: encontrar os pontos emonde atinge o valor mínimo absoluto e o valor máximo absoluto, e quais são esses valores.
Passo 2
Estratégia (explicada como se eu fosse seu colega estudando junto): para uma função contínua num intervalo fechado, os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Aqui a função é polinomial, então é contínua e derivável em todo lugar; portanto vou:
- calcular a derivada
;\n - achar os pontos críticos resolvendo
;\n - avaliar
nesses pontos críticos e também em e ;\n - comparar os valores obtidos para decidir mínimos e máximos absolutos.\n
Antes de aplicar: um lembrete rápido sobre derivada de potências — a regra do poder: a derivada deé . Por exemplo, a derivada de é e a de é .
Passo 3
Calcular a derivada
usando a regra do poder e a linearidade da derivada:
Aplicando derivada termo a termo:
Fatorando para facilitar a resolução:
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Como o fator
, os fatores que dão zero são:
Resolvendo
dá
, logo
Todos esses pontos pertencem ao intervalo
. Não há pontos onde a derivada não existe porque
é polinomial.
Passo 5
Vou agora avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo. Primeiro recordando a função:
Calcular
:
Calcular
. Observando que potências pares tornam
, então faço só uma:
Logo
Portanto
Calcular
e
(novamente iguais por simetria dos expoentes pares):
então
e
Passo 6
Agora comparo os valores obtidos para decidir extremos absolutos no intervalo:
-
.\n -
.\n -
.\n
O menor valor entreé , e o maior é . Portanto os mínimos absolutos valem e ocorrem em ; os máximos absolutos valem e ocorrem em .
(Opcional — classificação local rápida usando a segunda derivada:
. Em
,
indica máximo local em
— é só local, não absoluto. Em
,
indica mínimos locais, que aqui são também mínimos absolutos dado o confronto com os valores nos extremos do intervalo.)
Resposta
Mínimos absolutos:
.\n
Máximos absolutos: .
Máximos absolutos: