Resolver o polinômio característico (achar os autovalores): o polinômio \lambda^2 - 4\lambda + 3 fatoriza facilmente (procure dois números cuja soma é -4 e produto é 3; aqui são -1 e -3, então fatoriza como)
Encontrar autovetores para \lambda_1 = 1\): substituímos em \(A-\lambda I\) e resolvemos \((A-\lambda I)v=0\). Para \(\lambda=1\),
\[A - 1\! \cdot I = \begin{pmatrix}2-1 & 1 \\[4pt] 1 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema homogêneo é
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
As duas equações são iguais; a condição é x + y = 0\], ou seja \(y = -x. Logo os autovetores correspondentes a \lambda=1 são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Podemos escolher o autovetor \displaystyle v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix} como representante.]
Passo 6
Encontrar autovetores para \lambda_2 = 3\): para \(\lambda=3\),
\[A - 3\! \cdot I = \begin{pmatrix}2-3 & 1 \\[4pt] 1 & 2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema homogêneo é
\begin{cases} -x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e dão y = x\]. Logo os autovetores correspondentes a \(\lambda=3 são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Podemos escolher o autovetor \displaystyle v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Verificação (sempre bom checar na hora da prova): calcular A v e ver se dá \lambda v.
As verificações batem: os vetores escolhidos são realmente autovetores correspondentes aos autovalores indicados.]
Passo 8
Observação final (útil para prova): quando uma matriz 2\times2 tem autovalores distintos (aqui \lambda=1 e \lambda=3), os autovetores associados são linearmente independentes e a matriz é diagonalizável. Na prática, para esta matriz simétrica, os autovetores obtidos são ortogonais: \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} têm produto interno zero, o que é comum para matrizes simétricas reais.]
Resposta
\lambda=3,\quad autovetores: múltiplos de \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.\n\lambda=1,\quad autovetores: múltiplos de \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]