Exercício 47. (Problema de engenharia. Pesquise em IA) Em vibrações de sistema massamola com duas massas acopladas, explique como autovalores/autovetores determinam modos normais. Formule um sistema e resolva exemplo numérico simples.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações eu vou usar:
Pede para explicar como autovalores e autovetores determinam modos normais num sistema massa-mola com duas massas acopladas, formular um sistema e resolver um exemplo numérico simples.
Informação que vou usar (assumo o arranjo padrão, já que o enunciado não deu figura): duas massas m_1 e m_2 colocadas em linha; cada massa está ligada a um ponto fixo por uma mola (constantes k_1 e k_3) e as duas massas estão ligadas entre si por uma mola de acoplamento k_2. Vou escolher um exemplo numérico simples: m_1=m_2=1\\ \text{kg}, k_1=k_3=2\\ \text{N/m}, k_2=1\\ \text{N/m}.
Perguntas que o enunciado faz (resumindo): (a) explicar o papel dos autovalores/autovetores; (b) formular as equações; (c) resolver um exemplo numérico e mostrar a solução temporal para um caso inicial simples.
Passo 2
Modelagem física e equações de movimento (passo a passo didático):
Defino as coordenadas generalizadas: x_1(t) é o deslocamento da massa m_1 a partir do equilíbrio; x_2(t) é o deslocamento da massa m_2. Positivo para a direita.
Use a 2ª lei de Newton (soma das forças = massa × aceleração) em cada massa. Considere forças lineares das molas (força = -k\times elongação). Para m_1: a força da mola k_1 é -k_1 x_1; a força da mola entre massas k_2 é -k_2(x_1-x_2) (puxa m_1 na direção de m_2 quando x_1>x_2). Logo,
m_1 \ddot{x}_1 = -k_1 x_1 - k_2 (x_1 - x_2).
Para m_2:
m_2 \ddot{x}_2 = -k_3 x_2 - k_2 (x_2 - x_1).
Agrupando termos e escrevendo em forma matricial: defino o vetor x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\x_2(t)\end{pmatrix}. As equações ficam
M \ddot{x}(t) + K x(t) = 0,
onde M é a matriz de massa e K a matriz de rigidez. Para o arranjo dado:
Explicação das entradas de K: o termo K_{11}=k_1+k_2 porque as duas molas que atuam em m_1 contribuem à rigidez sentida por x_1; K_{12}=-k_2 é o efeito de x_2 sobre a equação de x_1 (acoplamento), e assim por diante.]
Passo 3
Como surgem autovalores e autovetores (a dedução passo a passo):
Procuramos soluções harmônicas (modos que oscilam com frequência única) do tipo
x(t) = \varphi\, e^{i\omega t},
onde \varphi é um vetor constante (o formato relativo entre x_1 e x_2) e \omega é a frequência angular. Substituindo em M\ddot{x}+Kx=0 obtemos
-\omega^2 M \varphi + K \varphi = 0.
Reescrevendo:
\bigl(K - \omega^2 M\bigr)\varphi = 0.
Isto é um problema de autovalor generalizado: queremos valores \omega^2 (autovalores) e vetores \varphi (autovetores) não triviais que satisfazem essa equação.
Interpretação física: cada par (\omega^2,\varphi) corresponde a um modo normal — uma maneira em que o sistema pode vibrar em que todas as coordenadas oscilam com a mesma frequência \omega e com amplitudes relativas fixas dadas por \varphi. Não há transferência de energia entre modos na solução linear não amortecida.
Passo 4
Propriedades importantes que uso na solução e por que elas importam (didático):
Se M e K são simétricas e M positiva definida (caso físico usual), então todos os \omega^2 são reais e positivos, logo as frequências \omega são reais (modos oscilatórios).
Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais com respeito à forma bilinear de massa: \phi_i^\top M \phi_j = 0 para i\neq j. Isso permite diagonalizar o problema usando coordenas modais (des acoplamento das equações).
Podemos normalizar os autovetores de modo que \phi_i^\top M \phi_i = 1. Esse procedimento facilita escrever a solução temporal e passar entre coordenadas físicas e modais.
Passo 5
Aplicação numérica — montar M e K com os valores escolhidos e calcular autovalores:
Um autovetor conveniente é \varphi^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Este modo é “em fase” (as duas massas se movem no mesmo sentido com mesmas amplitudes relativas).
Faço a mudança de coordenadas x(t)=\Phi q(t), onde q(t) é o vetor das coordenadas modais (cada componente q_j é a amplitude modal do modo j). Substituindo em M\ddot{x}+Kx=0, e usando ortogonalidade e normalização modal, obtenho equações desacopladas:
Ou seja, cada coordenada modal satisfaz uma equação de oscilador harmônico simples, com frequência \omega_j. Isso é o motivo prático pelo qual autovalores/autovetores são úteis: transformam um sistema acoplado em dois ODEs independentes e simples.]
Passo 8
Resolver um exemplo concreto de resposta no tempo com condições iniciais (mostrar procedimento completo):
Escolho condições iniciais simples para ilustrar: x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (apenas a massa 1 deslocada uma unidade), e \dot{x}(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calculo as coordenadas modais iniciais: como \Phi é ortonormal (\Phi^\top \Phi=I porque normalizamos com M=I),
Isto mostra como a resposta é combinação dos dois modos normais: os movimentos “em fase” e “fora de fase” com suas frequências.]
Passo 9
Interpretação física final e dicas para prova (resumindo o aprendizado passo a passo):
O autovalor \lambda=\omega^2 dá a frequência natural do modo; o autovetor \varphi dá a forma relativa de deslocamento das massas nesse modo (as razões entre x_1 e x_2).
Os modos normais são independentes: qualquer movimento livre pode ser escrito como combinação linear desses modos. Na prática, resolva o problema assim em prova: (1) escreva M e K; (2) resolva \det(K-\lambda M)=0 para achar \lambda=\omega^2; (3) ache \varphi resolvendo (K-\lambda M)\varphi=0; (4) normalize se precisar; (5) transforme condições iniciais para o espaço modal, resolva os ODEs desacoplados e reconstrua x(t).
Dica de prova: sempre confira unidades, e se M=I o problema simplifica muito (autovalores de K); se M\neq I trate o problema generalizado K\varphi=\lambda M\varphi. Use vetores ortogonais com respeito a M para fazer a transformação modal.