Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \frac{\operatorname{sec} ^{2} x}{3+2 \operatorname{tg} x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}
Logo, estamos no conteúdo de integração por substituição, especialmente quando reconhecemos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \tan x,
pois assim
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Com essa troca, a integral original
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}x}{3+2\tan x}\,dx
torna-se
\int \frac{du}{3 + 2u}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica
\int \frac{du}{a + bu} = \frac{1}{b}\ln\bigl|a + bu\bigr| + C.
Aqui a=3 e b=2, então
\int \frac{du}{3 + 2u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|3 + 2u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=\tan x. Portanto a primitiva é
\frac{1}{2}\ln\bigl|3 + 2\tan x\bigr| + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2}\ln\bigl|3 + 2\tan x\bigr| + C}

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