Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int \operatorname{sen} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de
\int \operatorname{sen} x \,\operatorname{sec} x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas; vamos precisar usar a simplificação do integrando e uma substituição simples.

Passo 2

Observe que
\operatorname{sen} x \,\operatorname{sec} x = \operatorname{sen} x \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x.
Assim a integral vira
\int \operatorname{sen} x \,\operatorname{sec} x \,dx = \int \tan x \,dx.

Passo 3

Para integrar \tan x, escrevemos
\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
e fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\operatorname{sen} x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x\,dx = -du.

Passo 4

Com isso
\int \tan x \,dx = \int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C = -\ln\lvert \cos x\rvert + C.

Resposta

\int \operatorname{sen} x \,\operatorname{sec} x \,dx = -\ln\bigl\lvert \cos x\bigr\rvert + C.

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