Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \frac{e{x}+e{-x}}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede as primitivas da função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
O conteúdo aqui é cálculo de primitiva (antiderivada) de funções exponenciais, usando a propriedade de linearidade da integral e o fato de que
\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}
e
\displaystyle \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, temos
\int \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{x}\,dx + \frac{1}{2}\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2}e^{-x} + C.
Reconhecemos que
\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
portanto a primitiva pode ser escrita como \operatorname{sinh}(x)+C.

Resposta

F(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}+C.

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