Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \operatorname{secx} dx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) de \operatorname{sec} x. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando um artifício clássico: multiplicar a integranda por uma forma de “1” que permita reconhecer uma derivada no numerador.

Passo 2

Observamos que a derivada de \operatorname{sec} x + \tan x é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x + \tan x\bigr) =\operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^2 x =\operatorname{sec} x\,(\tan x + \operatorname{sec} x).
Isso sugere multiplicar e dividir a integranda por \tan x + \operatorname{sec} x.

Passo 3

Escrevemos
\operatorname{sec} x =\frac{\operatorname{sec} x\,(\tan x + \operatorname{sec} x)}{\tan x + \operatorname{sec} x} =\frac{\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x + \tan x)}{\tan x + \operatorname{sec} x}.
Logo,
\int \operatorname{sec} x\,dx =\int \frac{\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x + \tan x)}{\tan x + \operatorname{sec} x}\,dx.

Passo 4

Reconhecendo uma integral do tipo \int u' / u\,dx = \ln|u| + C, com u=\tan x + \operatorname{sec} x, temos
\int \operatorname{sec} x\,dx =\ln\bigl|\tan x + \operatorname{sec} x\bigr| + C.

Resposta

\int \operatorname{sec} x\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

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