Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int(3 x-1)^{2003} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a primitiva de
\int(3x-1)^{2003}\,dx.
O conteúdo é integração de potência composta e vamos usar o método de substituição, indicado quando temos uma função elevada a um expoente e seu argumento é uma expressão linear em x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 3x - 1,
então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral, obtemos
\int(3x-1)^{2003}\,dx = \int u^{2003}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{2003}\,du.

Passo 3

Agora integramos a potência de u:
\frac{1}{3}\int u^{2003}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2004}}{2004} + C = \frac{u^{2004}}{6012} + C.
Voltando à variável original x, fica
\frac{(3x-1)^{2004}}{6012} + C.

Resposta

\frac{(3x-1)^{2004}}{6012} + C

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