Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int x \operatorname{sen}\left(3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas de
\int x \operatorname{sen}\bigl(3x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vemos x multiplicando a função de 3x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x^{2},
então
du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{6}.
Substituindo na integral original, temos
\int x \operatorname{sen}\bigl(3x^{2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 3

Agora, lembrando que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
obtém-se
\frac{1}{6}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{6}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{6}\cos(u) + C.

Resposta

-\frac{1}{6}\cos\bigl(3x^{2}\bigr) + C.

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