Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int x \sqrt{32+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\sqrt{32+4x^2}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois dentro da raiz aparece uma expressão cuja derivada é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 32 + 4x^2
de onde
du = 8x\,dx
e, portanto,
x\,dx = \frac{1}{8}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x\sqrt{32+4x^2}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{8}\,du = \frac{1}{8}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Aplicando a fórmula de potência para integrais,
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \tfrac18 e voltando à variável x,
\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{\tfrac32} = \frac{1}{12}u^{\tfrac32} = \frac{1}{12}\bigl(32+4x^2\bigr)^{\tfrac32}.

Passo 6

Para simplificar, note que
32+4x^2 = 4(8+x^2) \quad\Longrightarrow\quad (32+4x^2)^{\tfrac32} = 4^{\tfrac32}(8+x^2)^{\tfrac32} = 8(8+x^2)^{\tfrac32},
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\frac{1}{12}\bigl(32+4x^2\bigr)^{\tfrac32} = \frac{1}{12}\cdot8\,(8+x^2)^{\tfrac32} = \frac{2}{3}(8+x^2)^{\tfrac32}.

Resposta

\int x\sqrt{32+4x^2}\,dx = \frac{1}{12}\bigl(32+4x^2\bigr)^{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}(8+x^2)^{\tfrac32} + C.

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