Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int x \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
\int x\sqrt{x}\,dx
Isso envolve o conteúdo de integrais indefinidas e a aplicação da regra do poder:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, escrevemos \sqrt{x} como potência de x:
\sqrt{x} = x^{\tfrac12}.
Logo, o integrando fica
\;x\sqrt{x} = x \cdot x^{\tfrac12} = x^{1 + \tfrac12} = x^{\tfrac32}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder com n = \tfrac32:
\int x^{\tfrac32}\,dx = \frac{x^{\tfrac32 + 1}}{\tfrac32 + 1} + C.

Passo 4

Calculamos o expoente e o denominador:
\tfrac32 + 1 = \tfrac52,\quad \frac{1}{\tfrac52} = \frac{2}{5}.
Portanto
\int x^{\tfrac32}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} + C.

Resposta

\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} + C

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