Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}|+2 \mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de f:[-1,1]\to\mathbb{R} definida por f(x)=|x|+2x. O conteúdo aqui é otimização num intervalo fechado e, como há valor absoluto, vamos dividir em dois ramos para eliminar a discontinuidade na derivada.

Passo 2

Usamos a definição de valor absoluto para escrever f de modo piecewise:
f(x)=|x|+2x=\begin{cases} -\,x+2x = x, & x<0,\\\ x+2x = 3x, & x\ge0. \end{cases}

Passo 3

Em cada ramo examinamos a monotonicidade:
Para x<0, f(x)=x tem derivada f'(x)=1>0, logo é crescente em [-1,0).
Para x>0, f(x)=3x tem derivada f'(x)=3>0, logo é crescente em (0,1]. No ponto de junção x=0 não há descontinuidade no valor de f.

Passo 4

Em função da monotonicidade, os candidatos a extremos estão nas fronteiras e em x=0. Calculamos:
f(-1)=|-1|+2(-1)=1-2=-1,
f(0)=|0|+2\cdot0=0,
f(1)=|1|+2\cdot1=1+2=3.

Passo 5

Comparando os valores, o menor é f(-1)=-1 e o maior é f(1)=3. Não há outro ponto que alcance valores extremos maiores ou menores.

Resposta

O mínimo global ocorre em x=-1 com valor f(-1)=-1.
O máximo global ocorre em x=1 com valor f(1)=3.

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