Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
, dada por
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais de
definida por
. O conteúdo aqui é otimização num intervalo fechado e, como há valor absoluto, vamos dividir em dois ramos para eliminar a discontinuidade na derivada.
Passo 2
Usamos a definição de valor absoluto para escrever
de modo piecewise:
Passo 3
Em cada ramo examinamos a monotonicidade:
Para ,
tem derivada
, logo é crescente em
.
Para ,
tem derivada
, logo é crescente em
. No ponto de junção
não há descontinuidade no valor de
.
Para
Para
Passo 4
Em função da monotonicidade, os candidatos a extremos estão nas fronteiras e em
. Calculamos:
Passo 5
Comparando os valores, o menor é
e o maior é
. Não há outro ponto que alcance valores extremos maiores ou menores.
Resposta
O mínimo global ocorre em
com valor
.
O máximo global ocorre em com valor
.
O máximo global ocorre em