Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\operatorname{sen}(\mathrm{x})|

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},
f(x)=|\sin x|.
Para isso, vamos usar a informação de que \sin x varia entre -1 e 1 e estudar quando |\sin x| atinge os valores extremos dessa faixa.

Passo 2

Sabemos que
\sin x \in [-1,1]\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Tomando valor absoluto, obtemos
|\sin x|\in[0,1]\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Logo, o menor valor possível de f(x) é 0 e o maior é 1.

Passo 3

Para achar os mínimos globais, igualamos |\sin x|=0. Isso ocorre exatamente quando
\sin x=0,
cuja solução geral é
x=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Portanto, f(x)=0 em x=n\pi.

Passo 4

Para achar os máximos globais, igualamos |\sin x|=1. Isso ocorre quando \sin x=\pm1, ou seja,
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.
Em ambas as famílias de pontos temos, de modo unificado,
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
onde f(x)=1.

Resposta

Mínimos globais: f(x)=0 em x=n\pi, n\in\mathbb{Z}.
Máximos globais: f(x)=1 em x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

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