Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo globais da função
f:[-1,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{1-x^2}\,.
O conteúdo principal é análise de extremos em funções contínuas definidas em intervalo fechado, usando o Teorema de Weierstrass e derivadas para encontrar pontos críticos.

Passo 2

Como f(x)=\sqrt{1-x^2} é composta por operações contínuas em [-1,1] (radiciação e polinômio), ela é contínua no intervalo fechado. Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge máximo e mínimo globais em [-1,1].

Passo 3

Para achar os candidatos internos, calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x) =\frac{d}{dx}(1-x^2)^{1/2} =\frac12(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
Logo, f'(x)=0 se e somente se x=0. Também consideramos os pontos de fronteira x=-1 e x=1.

Passo 4

Avaliamo-s f em x=0, x=-1 e x=1:
f(0)=\sqrt{1-0^2}=1,\quad f(-1)=\sqrt{1-(-1)^2}=0,\quad f(1)=\sqrt{1-1^2}=0.

Passo 5

Comparando os valores:
– O maior valor é f(0)=1, logo há máximo global em x=0.
– O menor valor é 0, alcançado em x=-1 e x=1, logo há mínimos globais nesses pontos.

Resposta

O máximo global ocorre em x=0 com f(0)=1.
Os mínimos globais ocorrem em x=-1 e x=1, ambos com f(-1)=f(1)=0.

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