Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais da função \displaystyle f:[-1,1]\to\mathbb{R} dada por
f(x)=x^2+x.
Como f é contínua em um intervalo fechado, ela atinge máximo e mínimo globais em pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades x=-1 e x=1.

Passo 2

Calculamos a derivada para encontrar pontos críticos internos:
f'(x)=2x+1.
Resolvendo
2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12.
Esse é o único ponto crítico em [-1,1].

Passo 3

Avaliamo-lo e também as extremidades:
f\bigl(-\tfrac12\bigr)=\bigl(-\tfrac12\bigr)^2+\bigl(-\tfrac12\bigr) =\tfrac14-\tfrac12=-\tfrac14,
f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0,
f(1)=1^2+1=2.

Passo 4

Comparando os valores: -\tfrac14<0<2.
Logo o menor valor é -\tfrac14 em x=-\tfrac12 e o maior valor é 2 em x=1.

Resposta

O mínimo global ocorre em x=-\tfrac12 com f(-\tfrac12)=-\tfrac14.
O máximo global ocorre em x=1 com f(1)=2.

Exercícios relacionados