Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
, dada por
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo globais da função
O conteúdo principal é análise de extremos em funções contínuas definidas em intervalo fechado, usando o Teorema de Weierstrass e derivadas para encontrar pontos críticos.
Passo 2
Como
é composta por operações contínuas em
(radiciação e polinômio), ela é contínua no intervalo fechado. Pelo Teorema de Weierstrass,
atinge máximo e mínimo globais em
.
Passo 3
Para achar os candidatos internos, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Logo,
se e somente se
. Também consideramos os pontos de fronteira
e
.
Passo 4
Avaliamo-s
em
,
e
:
Passo 5
Comparando os valores:
– O maior valor é , logo há máximo global em
.
– O menor valor é , alcançado em
e
, logo há mínimos globais nesses pontos.
– O maior valor é
– O menor valor é
Resposta
O máximo global ocorre em
com
.
Os mínimos globais ocorrem em e
, ambos com
.
Os mínimos globais ocorrem em