Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique. \mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left|\mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}\right|
O conteúdo principal é o tratamento de valor absoluto: primeiro vamos achar onde o interior muda de sinal e escrever f de modo “sem valor absoluto”; depois derivar em cada trecho, achar críticos, comparar valores e analisar o comportamento em infinito.
Em cada intervalo entre essas raízes o sinal de x^{3}-x é constante, portanto
para x<-1 tem-se x^{3}-x<0 e
f(x) = -(x^{3}-x) = -x^{3}+x.
para -1<x<0 tem-se x^{3}-x>0 e
f(x) = x^{3}-x.
para 0<x<1 tem-se x^{3}-x<0 e
f(x) = -x^{3}+x.
para x>1 tem-se x^{3}-x>0 e
f(x) = x^{3}-x.
Passo 3
Derivamos em cada trecho (lembrando que onde x^{3}-x>0 temos f'(x)=3x^{2}-1, e onde x^{3}-x<0 temos f'(x)=-(3x^{2}-1)=1-3x^{2}). Assim, os zeros de f' vêm de
Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty, logo não há máximo global finito.
Passo 5
Comparando, o menor valor de f é 0, atingido em x=-1,0,1. Os pontos x=\pm\tfrac1{\sqrt3} são máximos locais com valor 2/(3\sqrt3), mas não são máximos globais pois f cresce sem limite.
Resposta
O mínimo global de f é
f_{\min}=0,
atingido em x=-1,0,1.
Não existe máximo global, pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.