Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left|\mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}\right|

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\bigl|x^{3}-x\bigr|.
O conteúdo principal é o tratamento de valor absoluto: primeiro vamos achar onde o interior muda de sinal e escrever f de modo “sem valor absoluto”; depois derivar em cada trecho, achar críticos, comparar valores e analisar o comportamento em infinito.

Passo 2

Encontramos as raízes de x^{3}-x=0, ou seja
x(x^{2}-1)=0\quad\Longrightarrow\quad x\in\{-1,0,1\}.
Em cada intervalo entre essas raízes o sinal de x^{3}-x é constante, portanto
  • para x<-1 tem-se x^{3}-x<0 e
f(x) = -(x^{3}-x) = -x^{3}+x.
  • para -1<x<0 tem-se x^{3}-x>0 e
f(x) = x^{3}-x.
  • para 0<x<1 tem-se x^{3}-x<0 e
f(x) = -x^{3}+x.
  • para x>1 tem-se x^{3}-x>0 e
f(x) = x^{3}-x.

Passo 3

Derivamos em cada trecho (lembrando que onde x^{3}-x>0 temos f'(x)=3x^{2}-1, e onde x^{3}-x<0 temos f'(x)=-(3x^{2}-1)=1-3x^{2}). Assim, os zeros de f' vêm de
3x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Verificamos que -\frac1{\sqrt3}\in(-1,0) e +\frac1{\sqrt3}\in(0,1), ou seja, são críticos válidos em seus respectivos trechos.

Passo 4

Calculamos os valores de f nos candidatos:
f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\Bigl|\bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{3}-\bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr| =\frac{\bigl|1-3\bigr|}{3\sqrt{3}} =\frac{2}{3\sqrt{3}}.
Nas raízes -1,0,1 temos
f(-1)=0,\quad f(0)=0,\quad f(1)=0.
Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty, logo não há máximo global finito.

Passo 5

Comparando, o menor valor de f é 0, atingido em x=-1,0,1. Os pontos x=\pm\tfrac1{\sqrt3} são máximos locais com valor 2/(3\sqrt3), mas não são máximos globais pois f cresce sem limite.

Resposta

O mínimo global de f é
f_{\min}=0,
atingido em x=-1,0,1.
Não existe máximo global, pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

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