Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \(f(x)= \begin{cases}-x, & \text { se }-1 \leqslant x<0 \\\ x^{2}+2 x, & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} -x, & -1\le x<0,\\\ x^2+2x, & 0\le x\le1 \end{cases}
em [-1,1] e pede os extremos globais. Como o domínio é um intervalo fechado e f é contínua (verificamos que \lim_{x\to0^-}(-x)=0 e f(0)=0), pelo Teorema do Valor Extremo os máximos e mínimos globais existem. Vamos então checar: (i) pontos críticos no interior de cada ramo, (ii) os pontos de junção (aqui x=0) e (iii) os extremos nos extremos do domínio x=-1 e x=1.

Passo 2

Analisando o ramo -1\le x<0:
A função é f_1(x)=-x. Sua derivada é
f_1'(x)=-1<0,
logo f_1 é estritamente decrescente em [-1,0). Destarte, o maior valor nesse ramo ocorre em x=-1 e o menor valor quando x\to0^-. Calculamos
f_1(-1)=-(-1)=1, \quad \lim_{x\to0^-}f_1(x)=0.

Passo 3

Analisando o ramo 0\le x\le1:
A função é f_2(x)=x^2+2x. Sua derivada é
f_2'(x)=2x+2=2(x+1)>0\quad\text{para }x\ge0,
então f_2 é estritamente crescente em [0,1]. Não há pontos críticos internos. O menor valor ocorre em x=0 e o maior em x=1:
f_2(0)=0^2+2\cdot0=0, \quad f_2(1)=1^2+2\cdot1=3.

Passo 4

Reunindo os valores candidatos: \,x=-1 f(-1)=1, \,x=0 f(0)=0, \,x=1 f(1)=3.
O menor desses é 0 em x=0 e o maior é 3 em x=1.

Resposta

O mínimo global é \,f(0)=0 em x=0.
O máximo global é \,f(1)=3 em x=1.

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