Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
em
e pede os extremos globais. Como o domínio é um intervalo fechado e
é contínua (verificamos que
e
), pelo Teorema do Valor Extremo os máximos e mínimos globais existem. Vamos então checar: (i) pontos críticos no interior de cada ramo, (ii) os pontos de junção (aqui
) e (iii) os extremos nos extremos do domínio
e
.
Passo 2
Analisando o ramo
:
A função é . Sua derivada é
A função é
logo
é estritamente decrescente em
. Destarte, o maior valor nesse ramo ocorre em
e o menor valor quando
. Calculamos
Passo 3
Analisando o ramo
:
A função é . Sua derivada é
A função é
então
é estritamente crescente em
. Não há pontos críticos internos. O menor valor ocorre em
e o maior em
:
Passo 4
Reunindo os valores candidatos:
dá
,
dá
,
dá
.
O menor desses é em
e o maior é
em
.
O menor desses é
Resposta
O mínimo global é
em
.
O máximo global é em
.
O máximo global é