Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \(f(x)= \begin{cases}x, & \text { se }-1 \leqslant x<0 \\\ x^{2}+2 x, & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x, & -1 \le x<0,\\\ x^2+2x, & 0 \le x\le1, \end{cases}
definida em [-1,1], e pede os extremos globais. Como estamos em um intervalo fechado e limitado, devemos calcular os pontos críticos de cada ramo e avaliar também os extremos do domínio (i.e.\ x=-1, x=1 e as junções, aqui x=0).

Passo 2

No trecho -1\le x<0 temos f(x)=x. A derivada é
f'(x)=1,
que nunca se anula, então não há pontos críticos internos. Como é função linear crescente, o menor valor nesse trecho ocorre em x=-1 e o maior em x\to0^-.
Avaliações:
f(-1)=-1, \quad \lim_{x\to0^-}f(x)=0.

Passo 3

No trecho 0\le x\le1 temos f(x)=x^2+2x. A derivada é
f'(x)=2x+2.
Resolvendo 2x+2=0 x=-1, que fica fora de [0,1]. Logo, não há ponto crítico interno. Como f'(x)>0 em todo [0,1], a função é crescente nesse intervalo. Os valores em x=0 e x=1 são
f(0)=0^2+2\cdot0=0, \quad f(1)=1^2+2\cdot1=3.

Passo 4

Reunindo as avaliações importantes:
f(-1)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=3.
O menor valor é -1 em x=-1 e o maior é 3 em x=1.

Resposta

O mínimo global é f(-1)=-1 e o máximo global é f(1)=3.

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