Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
f:]-\pi, \frac{\pi}{2}\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\), dada por \(f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x), & \text { se }-\pi<x \leqslant 0 \\\ \operatorname{tg}(x), & \text { se } 0<x<\frac{\pi}{2}\end{cases}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x)= \begin{cases} \sin(x),&-\pi<x\le0,\\\ \tan(x),&0<x<\tfrac{\pi}{2}, \end{cases}
definida em \bigl(-\pi,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Queremos encontrar os pontos de máximo e de mínimo globais, se existirem. Para isso, vamos estudar as derivadas das duas partes, os pontos críticos, e analisar os comportamentos nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos as derivadas em cada ramo.
Para -\pi<x<0,
f'(x)=\cos(x).
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2},
f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)>0.
Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou onde a derivada não existe. Em (0,\tfrac{\pi}{2}), \operatorname{sec}^2(x) nunca se anula, logo não há crítico aí. Em (-\pi,0), \cos(x)=0
x=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Estudando o ramo \sin(x) em -\pi<x\le0:
– Em x=-\tfrac{\pi}{2}, \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
– Em x\to-\,\pi^+, \sin(x)\to0.
– Em x=0, \sin(0)=0.
Como \sin varia de -1 até 0 nesse intervalo e alcança -1 em x=-\tfrac{\pi}{2}, esse ponto é o mínimo local (e candidato a mínimo global).

Passo 4

Estudando o ramo \tan(x) em 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
\tan(x) é estritamente crescente (pois \operatorname{sec}^2(x)>0),
\lim_{x\to0^+}\tan(x)=0,
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\tan(x)=+\infty.
Não há ponto de máximo nem mínimo interno nesse ramo, mas a função tende a +\infty e não tem valor máximo finito.

Passo 5

Analisando os extremos do domínio aberto: \displaystyle\lim_{x\to-\,\pi^+}f(x)=\lim_{x\to-\,\pi^+}\sin(x)=0, \displaystyle\lim_{x\to(\pi/2)^-}f(x)=+\infty.
Em x=0, a função vale f(0)=\sin(0)=0 e é contínua ali.

Passo 6

Comparando todos os valores obtidos:
– O menor valor efetivamente alcançado é -1 em x=-\tfrac{\pi}{2}.
– Não existe valor máximo finito, pois f(x)\to+\infty quando x\to(\pi/2)^-.

Resposta

O único mínimo global ocorre em
x=-\tfrac{\pi}{2},\quad f\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
Não há máximo global finito, pois \tan(x)\to+\infty quando x\to(\pi/2)^-.

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