Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a função
definida em
. Queremos encontrar os pontos de máximo e de mínimo globais, se existirem. Para isso, vamos estudar as derivadas das duas partes, os pontos críticos, e analisar os comportamentos nos extremos do intervalo.
Passo 2
Calculamos as derivadas em cada ramo.
Para ,
Para
Para
,
Os pontos críticos ocorrem quando
ou onde a derivada não existe. Em
,
nunca se anula, logo não há crítico aí. Em
,
dá
Passo 3
Estudando o ramo
em
:
– Em ,
.
– Em ,
.
– Em ,
.
Como varia de
até
nesse intervalo e alcança
em
, esse ponto é o mínimo local (e candidato a mínimo global).
– Em
– Em
– Em
Como
Passo 4
Estudando o ramo
em
:
– é estritamente crescente (pois
),
– ,
– .
Não há ponto de máximo nem mínimo interno nesse ramo, mas a função tende a e não tem valor máximo finito.
–
–
–
Não há ponto de máximo nem mínimo interno nesse ramo, mas a função tende a
Passo 5
Analisando os extremos do domínio aberto:
,
.
Em , a função vale
e é contínua ali.
Em
Passo 6
Comparando todos os valores obtidos:
– O menor valor efetivamente alcançado é em
.
– Não existe valor máximo finito, pois quando
.
– O menor valor efetivamente alcançado é
– Não existe valor máximo finito, pois
Resposta
O único mínimo global ocorre em
Não há máximo global finito, pois
quando
.