Exercício 48. Esboce o gráfico de:
f(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que se esboce o gráfico da função
f(x)=e^{-x}.
Informações dadas (explicitamente): a expressão da função.
Pergunta: desenhar (esboçar) o gráfico de f(x)=e^{-x} e, na prática, identificar os pontos e comportamentos importantes que permitem traçá-lo.

Passo 2

Domínio e imagem — o que isso significa e como achar.
Domínio de uma função são todos os x para os quais a expressão faz sentido. A exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Aqui t=-x também é real para todo x. Logo o domínio é
\text{domínio}=\mathbb{R}.í
Imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto de valores y=f(x) que a função atinge. A função exponencial e^{u} é sempre positiva: e^{u}>0 para todo u\in\mathbb{R}. Assim, para f(x)=e^{-x} vale
f(x)>0\quad\text{para todo }x,
portanto a imagem é
\text{imagem}=(0,\infty).
Explicação curta: nunca atinge 0 nem valores negativos; pode ficar arbitrariamente grande (quando x\to-\infty) e arbitrariamente próximo de 0 (quando x\to\infty).

Passo 3

Interceptos e pontos úteis para plotar — calculemos alguns valores fáceis.
  • Intersecção com o eixo y: em x=0,
f(0)=e^{0}=1,
logo o ponto (0,1) é o intercepto em y.
  • Não há intercepto com o eixo x porque f(x)>0 sempre (nunca iguala 0).
  • Pontos de referência:
f(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}\approx0,3679,
f(-1)=e^{1}=e\approx2,718.
Esses pontos (1,\tfrac{1}{e}) e (-1,e) ajudam a dar a curvatura do gráfico ao desenhar.

Passo 4

Comportamento nas extremidades — limites que indicam assíntotas.
Reescrevendo e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, temos
\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0,
porque e^{x}\to\infty quando x\to\infty, então 1/e^{x}\to0. E
\lim_{x\to-\infty} e^{-x} = \infty,
porque para x\to-\infty temos -x\to\infty e e^{-x}=e^{(-x)}\to\infty.
Conclusão prática: à direita o gráfico se aproxima de y=0 sem tocar; à esquerda cresce sem limite.

Passo 5

Assíntota horizontal — definição e identificação.
Uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty} f(x)=L. Aqui encontramos
\lim_{x\to\infty} f(x)=0,
logo y=0 é assíntota horizontal à direita. Não há assíntota horizontal à esquerda (o valor vai para +\infty).

Passo 6

Monotonicidade — derivada e interpretação (mini-aula do derivado).
Para uma função g(x)=e^{u(x)} a derivada é g'(x)=u'(x)e^{u(x)} (regra da cadeia). Aplicando a f(x)=e^{-x} com u(x)=-x e u'(x)=-1, obtemos
f'(x) = (-1)\,e^{-x} = -e^{-x}.
Como e^{-x}>0 para todo x, segue que f'(x)<0 para todo x. Isso significa que f é estritamente decrescente em \mathbb{R}. Em palavras: quando x aumenta, f(x) diminui sempre.

Passo 7

Concavidade — segunda derivada e interpretação (mini-aula de concavidade).
A segunda derivada é a derivada de f'(x)=-e^{-x}. Novamente pela regra da cadeia,
f''(x) = -(-e^{-x}) = e^{-x}.
Como e^{-x}>0 para todo x, temos f''(x)>0 para todo x. Portanto a curva é côncava para cima em toda a reta real. Consequência: o gráfico tem a forma de uma “tigela virada para cima” mas decrescente (afunila-se em direção à assíntota à direita).

Passo 8

Pontos de inflexão — verificação.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda de sinal (ou f''(x)=0 e troca de sinal). Aqui f''(x)=e^{-x} é sempre positivo e nunca zero, logo não há ponto de inflexão: a concavidade não muda.

Passo 9

Relação com e^{x} — uma maneira rápida de esboçar.
Observação útil: f(x)=e^{-x} é exatamente o gráfico de e^{x} refletido em relação ao eixo y (substituir x por -x é reflexão horizontal). Então, se já souber desenhar y=e^{x}, basta refletir: o crescimento para a direita vira decrescimento, e o comportamento para x\to\pm\infty troca lados.

Passo 10

Como esboçar passo a passo no papel (instrução prática que você pode seguir na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque a assíntota horizontal y=0 com uma linha tracejada.
  2. Marque o ponto (0,1). É o intercepto em y.
  3. Marque (1,\tfrac{1}{e}) ficando abaixo de 1 (aprox. 0,37) e (-1,e) acima de 2 (aprox. 2,72). Se quiser, marque (-2,e^{2}) (aprox. 7,39) para ver a subida à esquerda.
  4. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, é estritamente decrescente, fortemente crescente à esquerda (vai para +\infty) e se aproxima de y=0 à direita sem tocar, sempre com concavidade para cima. Evite ângulos agudos — exponencial é suave.
  5. Rotule domínio e imagem: \text{domínio}=\mathbb{R}í, \text{imagem}=(0,\infty).

Passo 11

Resumo das propriedades úteis para o esboço (coleção rápida para conferir):
\text{domínio}=\mathbb{R},\qquad \text{imagem}=(0,\infty),í
f(0)=1,\quad f(1)=\tfrac{1}{e}\approx0,3679,\quad f(-1)=e\approx2,718,
\lim_{x\to\infty}f(x)=0\\ (\text{assíntota }y=0),\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty,í
f'(x)=-e^{-x}<0\\ (\text{decrescente em }\mathbb{R}),
f''(x)=e^{-x}>0\\ (\text{côncava para cima em }\mathbb{R}).ô

Resposta

Gráfico de f(x)=e^{-x}: curva estritamente decrescente definida em \mathbb{R}, intercepto em y no ponto (0,1), sem intercepto em x, imagem (0,\infty), assíntota horizontal y=0 quando x\to\infty, diverge para +\infty quando x\to-\infty, concavidade para cima em toda a reta, passa por (1,\tfrac{1}{e}) e (-1,e).

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