Exercício 48. Esboce o gráfico de:
Passo 1
O enunciado pede que se esboce o gráfico da função
Informações dadas (explicitamente): a expressão da função.
Pergunta: desenhar (esboçar) o gráfico de e, na prática, identificar os pontos e comportamentos importantes que permitem traçá-lo.
Pergunta: desenhar (esboçar) o gráfico de
Passo 2
Domínio e imagem — o que isso significa e como achar.
Domínio de uma função são todos os para os quais a expressão faz sentido. A exponencial
está definida para todo
. Aqui
também é real para todo
. Logo o domínio é
Domínio de uma função são todos os
Imagem (contradomínio efetivo) é o conjunto de valores
que a função atinge. A função exponencial
é sempre positiva:
para todo
. Assim, para
vale
portanto a imagem é
Explicação curta: nunca atinge
nem valores negativos; pode ficar arbitrariamente grande (quando
) e arbitrariamente próximo de
(quando
).
Passo 3
Interceptos e pontos úteis para plotar — calculemos alguns valores fáceis.
- Intersecção com o eixo
: em ,
logo o ponto
é o intercepto em
.
- Não há intercepto com o eixo
porque sempre (nunca iguala ). - Pontos de referência:
Esses pontos
e
ajudam a dar a curvatura do gráfico ao desenhar.
Passo 4
Comportamento nas extremidades — limites que indicam assíntotas.
Reescrevendo , temos
Reescrevendo
porque
quando
, então
. E
porque para
temos
e
.
Conclusão prática: à direita o gráfico se aproxima de sem tocar; à esquerda cresce sem limite.
Conclusão prática: à direita o gráfico se aproxima de
Passo 5
Assíntota horizontal — definição e identificação.
Uma reta é assíntota horizontal quando
ou
. Aqui encontramos
Uma reta
logo
é assíntota horizontal à direita. Não há assíntota horizontal à esquerda (o valor vai para
).
Passo 6
Monotonicidade — derivada e interpretação (mini-aula do derivado).
Para uma função a derivada é
(regra da cadeia). Aplicando a
com
e
, obtemos
Para uma função
Como
para todo
, segue que
para todo
. Isso significa que
é estritamente decrescente em
. Em palavras: quando
aumenta,
diminui sempre.
Passo 7
Concavidade — segunda derivada e interpretação (mini-aula de concavidade).
A segunda derivada é a derivada de . Novamente pela regra da cadeia,
A segunda derivada é a derivada de
Como
para todo
, temos
para todo
. Portanto a curva é côncava para cima em toda a reta real. Consequência: o gráfico tem a forma de uma “tigela virada para cima” mas decrescente (afunila-se em direção à assíntota à direita).
Passo 8
Pontos de inflexão — verificação.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda de sinal (ou e troca de sinal). Aqui
é sempre positivo e nunca zero, logo não há ponto de inflexão: a concavidade não muda.
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda de sinal (ou
Passo 9
Relação com
— uma maneira rápida de esboçar.
Observação útil: é exatamente o gráfico de
refletido em relação ao eixo
(substituir
por
é reflexão horizontal). Então, se já souber desenhar
, basta refletir: o crescimento para a direita vira decrescimento, e o comportamento para
troca lados.
Observação útil:
Passo 10
Como esboçar passo a passo no papel (instrução prática que você pode seguir na prova):
- Desenhe os eixos
e . Marque a assíntota horizontal com uma linha tracejada. - Marque o ponto
. É o intercepto em . - Marque
ficando abaixo de (aprox. ) e acima de (aprox. ). Se quiser, marque (aprox. ) para ver a subida à esquerda. - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, é estritamente decrescente, fortemente crescente à esquerda (vai para
) e se aproxima de à direita sem tocar, sempre com concavidade para cima. Evite ângulos agudos — exponencial é suave. - Rotule domínio e imagem:
, .
Passo 11
Resumo das propriedades úteis para o esboço (coleção rápida para conferir):
Resposta
Gráfico de
: curva estritamente decrescente definida em
, intercepto em
no ponto
, sem intercepto em
, imagem
, assíntota horizontal
quando
, diverge para
quando
, concavidade para cima em toda a reta, passa por
e
.