Exercício 42. Mostre que a composição de funções contínuas é contínua.
Hint: Use propriedades de limites.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a composição de funções contínuas é contínua. Dados e perguntas claras:
  • Dados: duas funções f e g e um ponto a do domínio de f tal que f(a) pertence ao domínio de g.
  • Hipóteses que vamos assumir (essas são as hipóteses usuais do teorema): f é contínua em a e g é contínua em f(a).
  • O que devemos provar: que a composição g\circ f é contínua em a; ou seja, mostrar que
\lim_{x\to a} g(f(x)) = g(f(a)).

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade (do jeito formal e também intuitivo) para a gente não pular etapas:
  • Definição formal (epsilon-delta). Dizemos que uma função h é contínua em c se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-c|<\delta (com x no domínio de h), então |h(x)-h\text{(c)}|<\varepsilon.
  • Intuição: para h ser contínua em c, valores de x bem próximos de c devem produzir valores h(x) bem próximos de h\text{(c)}. O \varepsilon controla "quão perto queremos h(x) de h\text{(c)}" e o \delta nos diz "quão perto precisamos que x esteja de c" para garantir isso.

Passo 3

Estratégia do prova (explicada de forma simples): usar a propriedade de continuidade de g em f(a) para controlar a diferença |g(y)-g(f(a))| quando y está perto de f(a); em seguida usar a continuidade de f em a para garantir que, quando x está perto de a, f(x) fica perto de f(a). Então compõe-se esses controles para obter que g(f(x)) fica perto de g(f(a)). Agora vamos fazer isso rigorosamente com epsilon-delta.

Passo 4

Começamos fixando um \varepsilon>0 qualquer (isso é típico em provas por epsilon-delta: queremos mostrar que existe um \delta que funciona para qualquer \varepsilon). Como g é contínua em f(a), pela definição existe um número \delta_2>0 tal que
\text{se } |y-f(a)|<\delta_2 \text{ então } |g(y)-g(f(a))|<\varepsilon.ã
Aqui explicando: y é qualquer ponto do domínio de g. Em palavras, para que g(y) esteja dentro de \varepsilon de g(f(a)), basta que y esteja dentro de \delta_2 de f(a).

Passo 5

Agora usamos a continuidade de f em a. Pela definição, porque f é contínua em a e queremos forçar |f(x)-f(a)|<\delta_2, existe um \delta_1>0 tal que
\text{se } |x-a|<\delta_1 \text{ então } |f(x)-f(a)|<\delta_2.ã
Em palavras: para que f(x) esteja dentro de \delta_2 de f(a), basta que x esteja dentro de \delta_1 de a.

Passo 6

Agora juntamos os dois controles — este é o passo chave. Tome \delta=\delta_1. Suponha que x satisfaça |x-a|<\delta. Então, pela escolha de \delta_1, temos |f(x)-f(a)|<\delta_2. Aplicando a propriedade obtida com g (Passo 4), ao colocar y=f(x) obtemos
|g(f(x))-g(f(a))|<\varepsilon.
Isto vale para todo \varepsilon>0 escolhido inicialmente, e para todo x tal que |x-a|<\delta. Portanto, pela definição epsilon-delta, concluímos que
\lim_{x\to a} g(f(x)) = g(f(a)),
ou seja, g\circ f é contínua em a.

Passo 7

Comentário final e versão em termos de conjuntos (uma conclusão prática para a prova):
  • Resultado compacto: Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g\circ f é contínua em a.
  • Versão global: se f é contínua em todo um conjunto A e g é contínua em todo o conjunto f(A) (imagem de A por f), então g\circ f é contínua em A.
    Pequena palavra de incentivo: esse argumento epsilon-delta é o padrão e aparece bastante — decorar a ideia (pegar \varepsilon, obter \delta_2 de g, depois \delta_1 de f, e compor) já resolve a maioria das provas de composição.

Resposta

Se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g\circ f é contínua em a.

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