Exercício 42. Mostre que a composição de funções contínuas é contínua.
Hint: Use propriedades de limites.
Hint: Use propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a composição de funções contínuas é contínua. Dados e perguntas claras:
- Dados: duas funções
e e um ponto do domínio de tal que pertence ao domínio de . - Hipóteses que vamos assumir (essas são as hipóteses usuais do teorema):
é contínua em e é contínua em . - O que devemos provar: que a composição
é contínua em ; ou seja, mostrar que
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade (do jeito formal e também intuitivo) para a gente não pular etapas:
- Definição formal (epsilon-delta). Dizemos que uma função
é contínua em se, para todo , existe tal que sempre que (com no domínio de ), então . - Intuição: para
ser contínua em , valores de bem próximos de devem produzir valores bem próximos de . O controla "quão perto queremos de " e o nos diz "quão perto precisamos que esteja de " para garantir isso.
Passo 3
Estratégia do prova (explicada de forma simples): usar a propriedade de continuidade de
em
para controlar a diferença
quando
está perto de
; em seguida usar a continuidade de
em
para garantir que, quando
está perto de
,
fica perto de
. Então compõe-se esses controles para obter que
fica perto de
. Agora vamos fazer isso rigorosamente com epsilon-delta.
Passo 4
Começamos fixando um
qualquer (isso é típico em provas por epsilon-delta: queremos mostrar que existe um
que funciona para qualquer
). Como
é contínua em
, pela definição existe um número
tal que
Aqui explicando:
é qualquer ponto do domínio de
. Em palavras, para que
esteja dentro de
de
, basta que
esteja dentro de
de
.
Passo 5
Agora usamos a continuidade de
em
. Pela definição, porque
é contínua em
e queremos forçar
, existe um
tal que
Em palavras: para que
esteja dentro de
de
, basta que
esteja dentro de
de
.
Passo 6
Agora juntamos os dois controles — este é o passo chave. Tome
. Suponha que
satisfaça
. Então, pela escolha de
, temos
. Aplicando a propriedade obtida com
(Passo 4), ao colocar
obtemos
Isto vale para todo
escolhido inicialmente, e para todo
tal que
. Portanto, pela definição epsilon-delta, concluímos que
ou seja,
é contínua em
.
Passo 7
Comentário final e versão em termos de conjuntos (uma conclusão prática para a prova):
- Resultado compacto: Se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . - Versão global: se
é contínua em todo um conjunto e é contínua em todo o conjunto (imagem de por ), então é contínua em .
Pequena palavra de incentivo: esse argumento epsilon-delta é o padrão e aparece bastante — decorar a ideia (pegar, obter de , depois de , e compor) já resolve a maioria das provas de composição.
Resposta
Se
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.