Exercício 48 😗* Mostre que
\frac{\log a}{\log a b}=1-\log _{b} a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{\log a}{\log(a b)} = 1 - \log_{b}a.
O conteúdo envolvido são as propriedades de logaritmos: soma de logaritmos e mudança de base.

Passo 2

Calculemos o lado esquerdo (LHS). Como a base de \log é irrelevante, usamos \ln:
\frac{\log a}{\log(a b)} \;=\;\frac{\ln a}{\ln(a b)} \;=\;\frac{\ln a}{\ln a+\ln b}.

Passo 3

Agora o lado direito (RHS):
1-\log_{b}a \;=\;1-\frac{\ln a}{\ln b} \;=\;\frac{\ln b-\ln a}{\ln b}.

Passo 4

Para que LHS = RHS, precisaríamos
\frac{\ln a}{\ln a+\ln b} \;=\;\frac{\ln b-\ln a}{\ln b}.
Multiplicando cruzado:
\ln a\;\ln b = (\ln b-\ln a)\,(\ln a+\ln b) \;\Longrightarrow\;(\ln b)^{2}-\ln a\,\ln b-(\ln a)^{2}=0.
Defina k=\dfrac{\ln b}{\ln a}. A equação vira
k^{2}-k-1=0 \;\Longrightarrow\; k=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.

Passo 5

Portanto, a igualdade só se verifica se
\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{1\pm\sqrt5}{2} \quad\Longrightarrow\quad b=a^{\frac{1\pm\sqrt5}{2}}.
Em geral, para a,b>0 arbitrários, LHS e RHS não coincidem.

Resposta

A identidade
\frac{\log a}{\log(a b)}=1-\log_{b}a
não é válida em geral; ela só se verifica quando
b=a^{\frac{1\pm\sqrt5}{2}}.

Exercícios relacionados