Exercício 49. Escreva o polinômio f(t)=a t^{2}+b t+c como uma combinação linear dos polinômios p_{1}=(t-1)^{2}, p_{2}=t-1, p_{3}=1.

Passo 1

Temos o polinômio f(t)=a\,t^{2}+b\,t+c e os polinômios p_{1}=(t-1)^{2}, p_{2}=t-1, p_{3}=1. Queremos expressar f como combinação linear desses vetores em \mathcal{P}_{2}.

Passo 2

Assumimos que existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
f(t)=\alpha\,p_{1}+\beta\,p_{2}+\gamma\,p_{3} =\alpha\,(t-1)^{2}+\beta\,(t-1)+\gamma.

Passo 3

Expandindo o lado direito, obtemos
\alpha\,(t-1)^{2}+\beta\,(t-1)+\gamma =\alpha\,(t^{2}-2t+1)+\beta t-\beta+\gamma =\alpha\,t^{2}+(-2\alpha+\beta)\,t+(\alpha-\beta+\gamma).

Passo 4

Igualando com f(t)=a\,t^{2}+b\,t+c, montamos o sistema
\begin{cases} \alpha = a,\\\\ -2\alpha + \beta = b,\\\ \alpha - \beta + \gamma = c. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo, vem
\alpha = a,
\beta = b + 2a,
\gamma = c + \beta - \alpha = c + (b+2a) - a = a + b + c.

Resposta

f(t)=a\,(t-1)^{2}+(b+2a)\,(t-1)+(a+b+c).

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