Exercício 4.49 Sendo g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=\left|x^{2}-2 x\right|+1, minimize g.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função
g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad g(x)=\bigl|x^{2}-2x\bigr|+1.
O conteúdo envolvido é análise de quadráticos dentro de valor absoluto e estudo de função composta para encontrar o mínimo global.

Passo 2

Reescrevendo o quadrático em forma de quadrado perfeito, temos
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,
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g(x)=\bigl|(x-1)^{2}-1\bigr|+1.

Passo 3

Defina a variável auxiliar
u=(x-1)^{2},\quad u\ge0.
Então
g(x)=g(u)=|\,u-1\,|+1
e podemos escrever em forma piecewise:
g(u)= \begin{cases} 2 - u, & 0 \le u \le 1,\\\ u, & u \ge 1. \end{cases}

Passo 4

No ramo 0\le u\le1, g(u)=2-u é decrescente em u, logo seu mínimo ocorre em u=1 e vale g=2-1=1.
No ramo u\ge1, g(u)=u é crescente, então aí também o mínimo é em u=1 com g=1.
Voltando a x, u=1 implica (x-1)^{2}=1, ou seja, x=0 ou x=2.

Resposta

O valor mínimo de g é 1, alcançado em x=0 e x=2.

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