Exercício 4.48 Sendo
e
dada por
, minimize f (ou seja, encontre o ponto do domínio no qual
assume o menor valor).
Passo 1
O enunciado define a função
no domínio
e pede para minimizar
, isto é, para encontrar o ponto em
onde
é mínima. Vamos usar derivada para estudar monotonicidade e o comportamento de
em
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Para
temos
e
, logo
e, multiplicando por
, conclui-se que
Isto significa que
é estritamente crescente em todo o domínio
.
Passo 4
Como
é crescente em
, seus menores valores ocorrem quando
tende a
. Avaliando o limite:
Logo, não há um valor mínimo atingido em nenhum ponto finito de
.
Resposta
A função
não atinge mínimo em
; ela é não limitada inferiormente e