Exercício 4.48 Sendo X=\mathbb{R}-\mathbb{R}_{+}e \mathrm{f}: X \rightarrow \mathbb{R} dada por \mathrm{f}(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+2, minimize f (ou seja, encontre o ponto do domínio no qual f assume o menor valor).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x+2
no domínio
X = \mathbb{R}\setminus\mathbb{R}_{+} = (-\infty,0]
e pede para minimizar f, isto é, para encontrar o ponto em X onde f é mínima. Vamos usar derivada para estudar monotonicidade e o comportamento de f em x\to-\infty.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}-9x^{2}+12x+2\bigr) =6x^{2}-18x+12 =6\,(x^{2}-3x+2) =6\,(x-1)(x-2).

Passo 3

Para x\in(-\infty,0] temos x-1<0 e x-2<0, logo (x-1)(x-2)>0 e, multiplicando por 6>0, conclui-se que
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\le0.
Isto significa que f é estritamente crescente em todo o domínio X.

Passo 4

Como f é crescente em (-\infty,0], seus menores valores ocorrem quando x tende a -\infty. Avaliando o limite:
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}(2x^{3}-9x^{2}+12x+2) =-\infty.
Logo, não há um valor mínimo atingido em nenhum ponto finito de X.

Resposta

A função f não atinge mínimo em X; ela é não limitada inferiormente e
\inf_{x\in X}f(x)=-\infty.

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