Exercício 49. Utilize o algoritmo da divisão entre polinômios para reescrever f e facilitar o cálculo das seguintes primitivas:
\int \frac{2 x-5}{3 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{2x - 5}{3x + 1}\,dx
usando o algoritmo da divisão de polinômios. A ideia é reescrever o quociente como soma de um termo constante e de um termo da forma \tfrac{1}{3x+1}, facilitando a integração.

Passo 2

Aplicamos a divisão de 2x - 5 por 3x + 1. Procuramos constantes A e R tais que
2x - 5 = A\,(3x + 1) + R.
Igualando coeficientes de x, obtemos 2 = 3A, de onde
A = \frac{2}{3}.
Para o termo constante, substituímos A e isolamos R:
R = (2x - 5) - \frac{2}{3}(3x + 1) = 2x - 5 - \bigl(2x + \tfrac{2}{3}\bigr) = -5 - \tfrac{2}{3} = -\frac{17}{3}.
Logo
\frac{2x - 5}{3x + 1} = \frac{2}{3} + \frac{-\tfrac{17}{3}}{3x + 1} = \frac{2}{3} - \frac{17}{3\,(3x + 1)}.

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
\int \frac{2x - 5}{3x + 1}\,dx = \int \frac{2}{3}\,dx \;-\; \int \frac{17}{3\,(3x + 1)}\,dx.
A primeira é imediata:
\int \frac{2}{3}\,dx = \frac{2}{3}\,x.
Para a segunda, usamos \int \frac{1}{3x+1}\,dx = \frac{1}{3}\ln\bigl|3x+1\bigr|. Assim,
\int \frac{17}{3\,(3x + 1)}\,dx = \frac{17}{3}\,\int \frac{1}{3x+1}\,dx = \frac{17}{3}\,\cdot \frac{1}{3}\ln\bigl|3x+1\bigr| = \frac{17}{9}\ln\bigl|3x+1\bigr|.

Resposta

\int \frac{2x - 5}{3x + 1}\,dx = \frac{2}{3}\,x \;-\; \frac{17}{9}\ln\bigl|3x + 1\bigr| + C.

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