Exercício 49. Utilize o algoritmo da divisão entre polinômios para reescrever f e facilitar o cálculo das seguintes primitivas:
\int\left(\frac{x^{3}}{x^{2}+1}-\frac{x^{3}}{x-1}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\displaystyle \int\Bigl(\frac{x^{3}}{x^{2}+1}-\frac{x^{3}}{x-1}\Bigr)\,dx
usando divisão de polinômios. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais por divisão e posterior integração de termos simples.

Passo 2

Dividimos x^{3} por x^{2}+1. O quociente é x e o resto é -x, pois (x^{2}+1)\,x = x^{3}+x. Logo
\frac{x^{3}}{x^{2}+1} = x - \frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Dividimos x^{3} por x-1. O quociente é x^{2}+x+1 e o resto é 1, pois (x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1. Logo
\frac{x^{3}}{x-1} = x^{2}+x+1 + \frac{1}{x-1}.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\frac{x^{3}}{x^{2}+1}-\frac{x^{3}}{x-1} =\Bigl(x - \frac{x}{x^{2}+1}\Bigr) -\Bigl(x^{2}+x+1 + \frac{1}{x-1}\Bigr) =-x^{2}-1-\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x-1}.
Portanto
\int\Bigl(\frac{x^{3}}{x^{2}+1}-\frac{x^{3}}{x-1}\Bigr)\,dx =\int(-x^{2}-1)\,dx -\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx -\int\frac{1}{x-1}\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int(-x^{2}-1)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}-x,
\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
\int\frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert.
Somando tudo e agrupando a constante num único C, a primitiva geral é

Resposta

-\frac{x^{3}}{3} - x \;-\;\frac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;-\;\ln\lvert x-1\rvert + C.

Exercícios relacionados