Exercício 52. Sabendo que \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x), determine as seguintes primitivas:
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x, a>0

Passo 1

O enunciado nos dá que
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \operatorname{arcsen}(x) + C
e pede para encontrar
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\,dx,\quad a>0.
Vamos usar uma mudança de variável que reduza o radicando a 1 - u^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{x}{a} \quad\Longrightarrow\quad x = a\,u, \quad dx = a\,du, \quad \sqrt{a^{2} - x^{2}} = a\,\sqrt{1 - u^{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{a\sqrt{1 - u^{2}}}\;(a\,du) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\,du.

Passo 4

Pelo dado, sabemos que
\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\,du = \operatorname{arcsen}(u) + C.
Voltando à variável x, u = x/a, logo a primitiva é
\operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\,dx = \operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C.

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