Exercício 51. Determine as seguintes primitivas:
\int e^{x}\left(e^{2 x}+1\right)^{-1} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função
\int e^{x}\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{-1}\,dx.
Este é um caso clássico de integral de função composta, onde vamos usar o método de substituição (troca de variável) para simplificar o integrando.

Passo 2

Repare que no numerador temos e^{x}dx e no denominador aparece e^{2x}+1. Isso sugere definir
u = e^{x}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = e^{x}\,dx,
ou seja, e^{x}dx = du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int e^{x}\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{-1}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}+1}.
Agora o integrando ficou na forma padrão \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Sabemos da tabela básica de integrais que
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du = \arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Basta voltar à variável original x. Como u = e^{x}, a primitiva da integral dada é
\arctan\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

\arctan(e^{x}) + C

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