Exercício 4.55 Considere uma lata cilíndrica circular reta com capacidade de 1 litro construída com folhas de alumínio. A lateral da lata é construída a partir de um retângulo, enquanto que e a tampa e a base são discos de raio
obtidos a partir de quadrados de lado
. Dizemos que a lata é construída com sobras quando seu custo inclui as sobras de alumínio dos quadrados que foram usados para fazer a tampa e a base. Caso contrário, dizemos que a lata é construída sem sobras.
(i) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(ii) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(iii) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.
(iv) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.
(i) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(ii) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(iii) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.
(iv) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.
Passo 1
Temos um cilindro de volume
L, isto é,
,c
. O raio é
e a altura é
, de modo que
Queremos minimizar o custo de material, proporcional à área usada. Há duas fontes de área: a lateral, sempre dada por
e as tampas/base. Se construído sem sobras, usamos exatamente a área do(s) disco(s) de raio
; se com sobras, usamos a área dos quadrados de lado
. Resolveremos quatro casos:
(i) sem sobras com tampa e base;
(ii) sem sobras sem tampa;
(iii) com sobras com tampa e base;
(iv) com sobras sem tampa.
(i) sem sobras com tampa e base;
(ii) sem sobras sem tampa;
(iii) com sobras com tampa e base;
(iv) com sobras sem tampa.
Passo 2
Caso (i): sem sobras, com tampa e base.
A área total é
A área total é
Usando
, obtemos
Derivando e igualando a zero:
E
Passo 3
Caso (ii): sem sobras, sem tampa (só base).
A área total é
A área total é
Substituindo
:
Igualando
:
e
Passo 4
Caso (iii): com sobras, com tampa e base.
A área total é
A área total é
Com
:
Derivando e igualando a zero:
Logo
Passo 5
Caso (iv): com sobras, sem tampa (só base).
A área total é
A área total é
Substituindo
:
Da condição
:
e usando
temos
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)