Exercício 4.55 Considere uma lata cilíndrica circular reta com capacidade de 1 litro construída com folhas de alumínio. A lateral da lata é construída a partir de um retângulo, enquanto que e a tampa e a base são discos de raio r obtidos a partir de quadrados de lado 2 r. Dizemos que a lata é construída com sobras quando seu custo inclui as sobras de alumínio dos quadrados que foram usados para fazer a tampa e a base. Caso contrário, dizemos que a lata é construída sem sobras.
(i) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(ii) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata sem sobras mais barata nas condições dadas.
(iii) Se a lata possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.
(iv) Se a lata não possui tampa, quais as dimensões da lata com sobras mais barata nas condições dadas.

Passo 1

Temos um cilindro de volume V=1 L, isto é, V=1000,c m^{3}. O raio é r e a altura é h, de modo que
\pi r^2 h = 1000.
Queremos minimizar o custo de material, proporcional à área usada. Há duas fontes de área: a lateral, sempre dada por
\text{Área lateral} = 2\pi r h,Á
e as tampas/base. Se construído sem sobras, usamos exatamente a área do(s) disco(s) de raio r; se com sobras, usamos a área dos quadrados de lado 2r. Resolveremos quatro casos:
(i) sem sobras com tampa e base;
(ii) sem sobras sem tampa;
(iii) com sobras com tampa e base;
(iv) com sobras sem tampa.

Passo 2

Caso (i): sem sobras, com tampa e base.
A área total é
A(r,h)=2\pi r h \;+\;2\bigl(\pi r^2\bigr).
Usando h = 1000/(\pi r^2), obtemos
A(r)=2\pi r\frac{1000}{\pi r^2}+2\pi r^2 = \frac{2000}{r}+2\pi r^2.
Derivando e igualando a zero:
A'(r)=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\pi r^3=2000 \quad\Longrightarrow\quad r^3=\frac{500}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r=\Bigl(\tfrac{500}{\pi}\Bigr)^{\!1/3}.
E
h=\frac{1000}{\pi r^2} =2r =2\Bigl(\tfrac{500}{\pi}\Bigr)^{\!1/3}.

Passo 3

Caso (ii): sem sobras, sem tampa (só base).
A área total é
A(r,h)=2\pi r h \;+\;\pi r^2.
Substituindo h=1000/(\pi r^2):
A(r)=\frac{2000}{r}+\pi r^2.
Igualando A'(r)=-2000/r^2+2\pi r=0:
2\pi r^3=2000 \quad\Longrightarrow\quad r^3=\frac{1000}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad r=\Bigl(\tfrac{1000}{\pi}\Bigr)^{\!1/3},
e
h=\frac{1000}{\pi r^2} =r.

Passo 4

Caso (iii): com sobras, com tampa e base.
A área total é
A(r,h)=2\pi r h \;+\;2\bigl(4r^2\bigr) =2\pi r h+8r^2.
Com h=1000/(\pi r^2):
A(r)=\frac{2000}{r}+8r^2.
Derivando e igualando a zero:
-\frac{2000}{r^2}+16r=0 \quad\Longrightarrow\quad 16r^3=2000 \quad\Longrightarrow\quad r^3=125 \quad\Longrightarrow\quad r=5.
Logo
h=\frac{1000}{\pi\cdot 5^2} =\frac{1000}{25\pi} =\frac{40}{\pi}.

Passo 5

Caso (iv): com sobras, sem tampa (só base).
A área total é
A(r,h)=2\pi r h \;+\;4r^2.
Substituindo h=1000/(\pi r^2):
A(r)=\frac{2000}{r}+4r^2.
Da condição A'(r)=-2000/r^2+8r=0:
8r^3=2000 \quad\Longrightarrow\quad r^3=250 \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt[\,3]{250},
e usando \pi r^2 h=1000 temos
h=\frac{1000}{\pi r^2} =\frac{4r^3}{\pi r^2} =\frac{4r}{\pi} =\frac{4}{\pi}\sqrt[\,3]{250}.

Resposta

(i) r=(500/\pi)^{1/3},\quad h=2\,(500/\pi)^{1/3}.
(ii) r=(1000/\pi)^{1/3},\quad h=(1000/\pi)^{1/3}.
(iii) r=5,\quad h=40/\pi.
(iv) r=\sqrt[\,3]{250},\quad h=\tfrac{4}{\pi}\sqrt[\,3]{250}.

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