Exercício 57.
Ache todas as derivadas ( n-ésimas derivadas) não identicamente nulas de f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas de ordem n de
f(x) = \bigl(x^2 - 1\bigr)^3
que não sejam identicamente nulas. O conteúdo aqui é derivação de polinômio: sabemos que um polinômio de grau 6 tem derivadas não nulas até a sexta ordem, e a partir da sétima ordem todas as derivadas são zero.

Passo 2

Para facilitar, primeiro expandimos f(x). Usando o binômio de Newton,
(x^2 - 1)^3 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas sucessivas até a ordem em que o polinômio se anula:
\begin{aligned} f(x) &= x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1,\\\ f'(x) &= 6x^5 - 12x^3 + 6x,\\\ f''(x) &= 30x^4 - 36x^2 + 6,\\\ f^{(3)}(x) &= 120x^3 - 72x,\\\ f^{(4)}(x) &= 360x^2 - 72,\\\ f^{(5)}(x) &= 720x,\\\ f^{(6)}(x) &= 720. \end{aligned}

Passo 4

Como f(x) é de grau 6, a derivada de ordem 7 e superiores é identicamente zero:
f^{(n)}(x) = 0 \quad\text{para todo }n\ge7.

Resposta

As derivadas não identicamente nulas de f são, para n=0,1,2,3,4,5,6:
\begin{aligned} f^{(0)}(x)&=x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1,\\\ f^{(1)}(x)&=6x^5 - 12x^3 + 6x,\\\ f^{(2)}(x)&=30x^4 - 36x^2 + 6,\\\ f^{(3)}(x)&=120x^3 - 72x,\\\ f^{(4)}(x)&=360x^2 - 72,\\\ f^{(5)}(x)&=720x,\\\ f^{(6)}(x)&=720. \end{aligned}
Para n\ge7, f^{(n)}(x)=0.

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