Exercício 57.
Ache todas as derivadas (
-ésimas derivadas) não identicamente nulas de
.
Ache todas as derivadas (
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas de ordem
de
que não sejam identicamente nulas. O conteúdo aqui é derivação de polinômio: sabemos que um polinômio de grau
tem derivadas não nulas até a sexta ordem, e a partir da sétima ordem todas as derivadas são zero.
Passo 2
Para facilitar, primeiro expandimos
. Usando o binômio de Newton,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas sucessivas até a ordem em que o polinômio se anula:
Passo 4
Como
é de grau
, a derivada de ordem
e superiores é identicamente zero:
Resposta
As derivadas não identicamente nulas de
são, para
:
Para
,
.