Exercício 57. Considere o subespaço
de
. Encontre uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
.
O conteúdo é análise de subespaços definidos por uma equação linear, então vamos resolver a restrição e expressar um vetor genérico de em função de parâmetros livres.
O conteúdo é análise de subespaços definidos por uma equação linear, então vamos resolver a restrição e expressar um vetor genérico de
Passo 2
A condição
implica
Logo um vetor arbitrário de
pode ser escrito como
Aqui escolhemos
como variáveis livres.
Passo 3
Reescrevendo em combinação linear dos vetores associados a cada parâmetro, temos
Isso mostra que todo vetor de
é combinação linear dos três vetores
,
e
.
Passo 4
Esses três vetores são claramente linearmente independentes (não há nenhuma relação não trivial
além de ).
Como geram todo e são três, concluímos que
.
além de
Como geram todo
Resposta
Uma possível base de
é
e a dimensão de
é
.