Exercício 57. Considere o subespaço U=\{(a, b, c, d) \mid b-2 c+d=0\} de \mathbb{R}^{4}. Encontre uma base e a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
U=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4\mid b-2c+d=0\}.
O conteúdo é análise de subespaços definidos por uma equação linear, então vamos resolver a restrição e expressar um vetor genérico de U em função de parâmetros livres.

Passo 2

A condição b-2c+d=0 implica
b = 2c - d.
Logo um vetor arbitrário de U pode ser escrito como
(a,b,c,d) = (a,\;2c - d,\;c,\;d).
Aqui escolhemos a,c,d como variáveis livres.

Passo 3

Reescrevendo em combinação linear dos vetores associados a cada parâmetro, temos
(a,\;2c - d,\;c,\;d) = a\,(1,0,0,0) \;+\; c\,(0,2,1,0)\;+\; d\,(0,-1,0,1).
Isso mostra que todo vetor de U é combinação linear dos três vetores
\,(1,0,0,0), (0,2,1,0) e (0,-1,0,1).

Passo 4

Esses três vetores são claramente linearmente independentes (não há nenhuma relação não trivial
\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,2,1,0)+\gamma(0,-1,0,1)=0
além de \alpha=\beta=\gamma=0).
Como geram todo U e são três, concluímos que \dim(U)=3.

Resposta

Uma possível base de U é
\{(1,0,0,0),\;(0,2,1,0),\;(0,-1,0,1)\},
e a dimensão de U é 3.

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