Exercício 58. Considere o subespaço W=\{(a, b, c, d) \mid a=d, b=2 c\} de \mathbb{R}^{4}. Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4 \mid a=d,\;b=2c\}
e pede uma base e a dimensão de W. O conteúdo envolve subespaços vetoriais de \mathbb{R}^n, dimensionamento por restrições lineares e construção de base.

Passo 2

As duas equações
a=d \quad\text{e}\quad b=2c
são restrições lineares independentes em \mathbb{R}^4. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), um subespaço de \mathbb{R}^4 definido por duas equações lineares independentes tem dimensão
4 - 2 = 2.

Passo 3

Para parametrizar W, escolhemos variáveis livres. Seja
s = a = d \quad\text{e}\quad t = c,
então
b = 2c = 2t \quad\text{e}\quad d = a = s.
Logo, todo vetor (a,b,c,d)\in W pode ser escrito como
(a,b,c,d) = (s,2t,t,s).

Passo 4

Reescrevendo em forma de combinação linear, temos
(s,2t,t,s) = s\,(1,0,0,1) \;+\; t\,(0,2,1,0).
Os vetores
(1,0,0,1) \quad\text{e}\quad (0,2,1,0)
são linearmente independentes e geram W, portanto formam uma base de W.

Resposta

Uma base de W é
\{(1,0,0,1),\,(0,2,1,0)\},
e a dimensão de W é
\dim(W)=2.

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