Exercício 58. Considere o subespaço
de
. Encontre uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede uma base e a dimensão de
. O conteúdo envolve subespaços vetoriais de
, dimensionamento por restrições lineares e construção de base.
Passo 2
As duas equações
são restrições lineares independentes em
. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem), um subespaço de
definido por duas equações lineares independentes tem dimensão
Passo 3
Para parametrizar
, escolhemos variáveis livres. Seja
então
Logo, todo vetor
pode ser escrito como
Passo 4
Reescrevendo em forma de combinação linear, temos
Os vetores
são linearmente independentes e geram
, portanto formam uma base de
.
Resposta
Uma base de
é
e a dimensão de
é