Exercício 53. Decida se os polinômios u, v, w de P(t) são linearmente dependentes ou independentes.
u=t^{3}-4 t^{2}+3 t+3, v=t^{3}+2 t^{2}+4 t-1, w=2 t^{3}-t^{2}-3 t+5.

Passo 1

O enunciado fornece os polinômios
\displaystyle u=t^{3}-4t^{2}+3t+3,
\displaystyle v=t^{3}+2t^{2}+4t-1 e
\displaystyle w=2t^{3}-t^{2}-3t+5
e pede para decidir se eles são linearmente dependentes ou independentes.
O conteúdo aqui é dependência linear em espaços de polinômios, que podemos tratar representando cada polinômio pelos seus coeficientes e verificando se existe combinação linear não trivial que dê o polinômio nulo.

Passo 2

Representamos cada polinômio como vetor em \mathbb{R}^{4}, ordenando os coeficientes de t^{3} a t^{0}:
u\sim\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix},\quad v\sim\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\\\ -1\end{pmatrix},\quad w\sim\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -3\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 3

Para testar se são independentes, montamos a combinação linear
a\,u + b\,v + c\,w = 0
que em coordenadas dá o sistema
\begin{cases} a + b + 2c = 0,\\\\ -4a + 2b - c = 0,\\\\ 3a + 4b -3c = 0,\\\\ 3a - b + 5c = 0. \end{cases}
Os coeficientes formam a matriz 4\times3
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ -4 & 2 & -1\\\\ 3 & 4 & -3\\\\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Se o posto de A valer 3, então a única solução é a=b=c=0 e os vetores (polinômios) são independentes.

Passo 4

Basta calcular um menor 3\times3 não trivial, por exemplo usando as três primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ -4 & 2 & -1\\\\ 3 & 4 & -3 \end{pmatrix} =1\bigl(2\cdot(-3)-(-1)\cdot4\bigr) -1\bigl((-4)\cdot(-3)-(-1)\cdot3\bigr) +2\bigl((-4)\cdot4-2\cdot3\bigr).

Passo 5

Calculando cada termo:
1\bigl(-6 -(-4)\bigr) = -2,\quad -1\bigl(12 -(-3)\bigr) = -15,\quad 2\bigl(-16 -6\bigr) = -44.
Somando, o determinante vale -2 -15 -44 = -61 \neq 0.

Passo 6

Como esse menor é não nulo, o posto de A é 3, a única solução de a\,u+b\,v+c\,w=0 é a=b=c=0 e logo os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios u, v e w são linearmente independentes.

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