Exercício 4.59 A soma de dois números não negativos é 36. Diga quais serão esses números se:
(i) a diferença de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.
(ii) a soma de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.
(i) a diferença de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.
(ii) a soma de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois números não negativos
e
tais que
e pede:
(i) maximizar a diferença das raízes quadradas, isto é, maximizar ;
(ii) maximizar a soma das raízes quadradas, isto é, maximizar .
Para lidar com a restrição , vamos escrever
e obter funções de uma única variável
, depois usar derivadas para encontrar máximos.
(i) maximizar a diferença das raízes quadradas, isto é, maximizar
(ii) maximizar a soma das raízes quadradas, isto é, maximizar
Para lidar com a restrição
Passo 2
Para o caso (i) definimos
Calculamos a derivada de
:
Como para todo
temos
e
, segue que
. Logo,
é estritamente crescente no intervalo.
Passo 3
Se
é crescente em
, seu valor máximo ocorre no extremo direito
, com
.
Portanto, a diferença fica máxima quando
Portanto, a diferença
Passo 4
Para o caso (ii) definimos
A derivada de
é
Para achar extremos críticos, igualamos
, o que dá
Passo 5
Precisamos verificar que
realmente dá o máximo. Calculando os valores em
,
e
:
Como
, o valor máximo de
ocorre em
, com
.
Resposta
(i)
.
(ii) .
(ii)