Exercício 4.59 A soma de dois números não negativos é 36. Diga quais serão esses números se:
(i) a diferença de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.
(ii) a soma de suas raízes quadradas tiver que ser a maior possível.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números não negativos x e y tais que
x + y = 36
e pede:
(i) maximizar a diferença das raízes quadradas, isto é, maximizar \sqrt{x}-\sqrt{y};
(ii) maximizar a soma das raízes quadradas, isto é, maximizar \sqrt{x}+\sqrt{y}.
Para lidar com a restrição x+y=36, vamos escrever y=36-x e obter funções de uma única variável x\in[0,36], depois usar derivadas para encontrar máximos.

Passo 2

Para o caso (i) definimos
f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{36-x},\quad 0\le x\le36.
Calculamos a derivada de f:
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\bigl(-\frac{1}{2\sqrt{36-x}}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{36-x}}.
Como para todo x\in(0,36) temos \sqrt{x}>0 e \sqrt{36-x}>0, segue que f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente no intervalo.

Passo 3

Se f é crescente em [0,36], seu valor máximo ocorre no extremo direito x=36, com y=36-36=0.
Portanto, a diferença \sqrt{x}-\sqrt{y} fica máxima quando
(x,y)=(36,0).

Passo 4

Para o caso (ii) definimos
g(x)=\sqrt{x}+\sqrt{36-x},\quad 0\le x\le36.
A derivada de g é
g'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{36-x}}.
Para achar extremos críticos, igualamos g'(x)=0, o que dá
\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{36-x}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=\sqrt{36-x} \quad\Longrightarrow\quad x=36-x \quad\Longrightarrow\quad x=18.

Passo 5

Precisamos verificar que x=18 realmente dá o máximo. Calculando os valores em x=0, x=18 e x=36:
g(0)=0+6=6,\quad g(18)=\sqrt{18}+\sqrt{18}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}\approx8,49,\quad g(36)=6+0=6.
Como 6\sqrt{2}>6, o valor máximo de g ocorre em x=18, com y=36-18=18.

Resposta

(i) (x,y)=(36,0).
(ii) (x,y)=(18,18).

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