Exercício 5.Considere uma amostra de tamanho
composta por crianças de 1 a 12 anos,sendo que a variável observada foi a altura(em cm)das crianças.A média da altura dessa amostra é
.Suponha que a menor altura da amostra é modificado de 85 cm para 70 cm após refazer as medições das crianças.
A modificação irá alterar o valor da mediana?Justifique.
A modificação irá alterar o valor da mediana?Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que se pede:
- Tamanho da amostra:
. - A amostra é composta por alturas (em cm) de crianças; não temos a lista completa dos 15 valores.
- A média amostral inicial é
(informação dada, mas não necessária para a mediana). - A menor altura da amostra foi originalmente
e, após refazer uma medição, esse valor foi alterado para . Ou seja, apenas o menor valor foi modificado. - Pergunta: essa modificação irá alterar o valor da mediana? Justifique.
Passo 2
O que é a mediana numa amostra com número ímpar de observações? Vou explicar devagar: ordenamos os dados do menor para o maior e então pegamos o valor central. Para uma amostra com
ímpar, a posição do valor central (a mediana) é
Aqui, com
, a posição da mediana é
Isto significa que a mediana é justamente o
-º menor valor da amostra ordenada.
Passo 3
Formalizando com notação de estatística básica: seja
os dados ordenados (isto é,
é o menor,
o maior). A mediana original é
O enunciado diz que
foi substituído por
. Chamemos ao novo conjunto ordenado de
.
Passo 4
Agora raciocinemos sobre o efeito dessa mudança na ordenação: como
, o novo valor continua sendo o menor de todos os valores (não pode passar a ocupar uma posição maior sem que alguns outros valores mudem; mas os outros 14 valores não foram alterados). Portanto, após a mudança teremos
e, para todo
,
Ou seja, apenas o primeiro termo da ordenação mudou; os
outros termos mantiveram as mesmas posições relativas.
Passo 5
Dado o que escrevemos, a mediana no novo conjunto é
Pelo item anterior, para
vale
. Logo a mediana nova é igual à mediana original:
Portanto, a modificação do menor valor de
para
não altera a mediana.
Passo 6
Uma observação didática e prática (para a prova): mudar um valor extremo pode ou não alterar a mediana dependendo de como muda a ordem dos dados. Se você diminui ainda mais o menor valor, ele continua sendo extremo e não afeta a posição central; se, por outro lado, você aumentasse o menor valor o suficiente para que esse valor deixasse de ser o menor e passasse a ficar entre os demais, aí a ordenação relativa mudaria e a mediana poderia alterar. Um exemplo rápido com
:
tem mediana
. Trocar
por
mantém a mediana
. Trocar
por
altera a mediana para
. No nosso caso, diminuímos
para
, então não há mudança na mediana.
Resposta
Não; a mediana não se altera.