Exercício 5.Considere uma amostra de tamanho n=15 composta por crianças de 1 a 12 anos,sendo que a variável observada foi a altura(em cm)das crianças.A média da altura dessa amostra é 111,5 \mathrm{~cm} .Suponha que a menor altura da amostra é modificado de 85 cm para 70 cm após refazer as medições das crianças.
A modificação irá alterar o valor da mediana?Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que se pede:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • A amostra é composta por alturas (em cm) de crianças; não temos a lista completa dos 15 valores.
  • A média amostral inicial é \bar{x}=111,5\\ \text{cm} (informação dada, mas não necessária para a mediana).
  • A menor altura da amostra foi originalmente 85\\ \text{cm} e, após refazer uma medição, esse valor foi alterado para 70\\ \text{cm}. Ou seja, apenas o menor valor foi modificado.
  • Pergunta: essa modificação irá alterar o valor da mediana? Justifique.

Passo 2

O que é a mediana numa amostra com número ímpar de observações? Vou explicar devagar: ordenamos os dados do menor para o maior e então pegamos o valor central. Para uma amostra com n ímpar, a posição do valor central (a mediana) é
\frac{n+1}{2}.
Aqui, com n=15, a posição da mediana é
\frac{15+1}{2}=8.
Isto significa que a mediana é justamente o 8-º menor valor da amostra ordenada.

Passo 3

Formalizando com notação de estatística básica: seja x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(15)} os dados ordenados (isto é, x_{(1)} é o menor, x_{(15)} o maior). A mediana original é
\text{mediana} = x_{(8)}.
O enunciado diz que x_{(1)}=85 foi substituído por 70. Chamemos ao novo conjunto ordenado de y_{(1)}\le y_{(2)}\le\cdots\le y_{(15)}.

Passo 4

Agora raciocinemos sobre o efeito dessa mudança na ordenação: como 70<85, o novo valor continua sendo o menor de todos os valores (não pode passar a ocupar uma posição maior sem que alguns outros valores mudem; mas os outros 14 valores não foram alterados). Portanto, após a mudança teremos
y_{(1)}=70
e, para todo k=2,3,\dots,15,
y_{(k)}=x_{(k)}.
Ou seja, apenas o primeiro termo da ordenação mudou; os 14 outros termos mantiveram as mesmas posições relativas.

Passo 5

Dado o que escrevemos, a mediana no novo conjunto é
\text{mediana nova}=y_{(8)}.
Pelo item anterior, para k=8 vale y_{(8)}=x_{(8)}. Logo a mediana nova é igual à mediana original:
y_{(8)}=x_{(8)}.
Portanto, a modificação do menor valor de 85 para 70 não altera a mediana.

Passo 6

Uma observação didática e prática (para a prova): mudar um valor extremo pode ou não alterar a mediana dependendo de como muda a ordem dos dados. Se você diminui ainda mais o menor valor, ele continua sendo extremo e não afeta a posição central; se, por outro lado, você aumentasse o menor valor o suficiente para que esse valor deixasse de ser o menor e passasse a ficar entre os demais, aí a ordenação relativa mudaria e a mediana poderia alterar. Um exemplo rápido com n=5: (2,4,6,8,10) tem mediana 6. Trocar 2 por 1 mantém a mediana 6. Trocar 2 por 7 altera a mediana para 7. No nosso caso, diminuímos 85 para 70, então não há mudança na mediana.

Resposta

Não; a mediana não se altera.

Exercícios relacionados